ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Условия эволюционности разрывов из "Нелинейные волны в упругих средах " Поверхности разрывов служат границами для областей, в которых функции щ непрерывны, дифференцируемы и подчиняются дифференциальным уравнениям. Для обеспечения корректности решения дифференциальных систем уравнений по обе стороны от фронта разрыва необходимо выполнение условий эволюционности. Как было определено в 1.3, условия эволюционности для гиперболических систем уравнений заключаются в возможности однозначно решить задачу о взаимодействии границы (в рассматриваемом случае - поверхности разрыва) с малыми возмущениями, зависящими от ж и в рамках линейного приближения. [c.43] Условия эволюционности разрыва состоят в том, что количество характеристик, уходящих от него в обе стороны на плоскости x,t, должно быть на единицу меньше числа граничных условий. Количество уходящих характеристик определяется относительными скоростями разрыва Ш и малых возмущений, т.е. характеристик с , f. [c.43] Рассмотрим сначала общий случай, когда по разные стороны от разрыва действуют различные гиперболические системы уравнений, описывающие процессы перед и за разрывом. Их порядки обозначим через п и п соответственно. Пусть число независимых соотношений на разрыве выражено числом N. Тогда, согласно условию эволюционности, число уходящих характеристик должно быть равно — 1. [c.43] Иллюстрацию получения неравенств (1.25) дадт рис. 1.8, где на двух параллельных осях отложены в одинаковом масштабе характеристические скорости с+ и с и скорость скачка У. [c.45] Разрыв эволюционен в области перекрытия заштрихованных на рис, 1.8 отрезков. [c.45] Разрывы, у которых скорость УУ совпадает с одной из характеристических, тоже могут оказаться эволюционными. Например, разрывы бесконечно малой амплитуды, рассмотренные в 1.2, для которых = Ж = с , эволюционны. Поэтому в соотношениях, выражающих условия эволюционности, будем дополнять неравенства знаком равенства. Однако, эволюционность таких предельных разрывов (дальше мы будем называть их разрывами Жуге или ударными волнами Жуге) надо проверять отдельно в каждом конкретном случае. [c.45] Будем называть его разрывом к - того типа к = 1,2. п). Применительно к газовой динамике условия эволюционности были даны Ландау в 1944 г. (Ландау и Лифшиц [1987]). Условия (1.26) называются также условиями Лакса (Lax [1957]), который получил их в случае системы п уравнений, выражающих законы сохранения. Очевидно, условия (1.26) соответствуют и различным типам разрывов в зависимости от того, какое из значений принимает =1,2. п. [c.46] Невыполнение требований (1.26) ведет к неэволюционности разрыва. В 1.3 было показано, что неэволюционность границы можно трактовать как ее неустойчивость по отношению к малым возмущениям в рамках линейного приближения. Таким образом, условия (1.26) можно рассматривать как необходимые условия устойчивости (а значит и возможности существования) разрыва данного типа. [c.46] Часто бывает удобно изображать области, в которых выполнены соотнощения (1.26), на схеме, где использованные ранее оси с , с расположены ортогонально одна другой (рис. 1.9) (Ахи-езер, Любарский, Половин [1958]). [c.46] Если рассматриваются ударные волны, распространяющиеся по некоторому заданному состоянию, то характеристические скорости с фиксированы и можно представлять W и на оси с в реальном масштабе величин. В то же время f меняют свои величины вдоль ударной адиабаты, но мы будем изображать на рис. 1.9 линии с = как прямые параллельные оси с . Это означает, что масштаб по оси с+ является условным, но нам необходимо только наглядное представление неравенств между отмеченными на оси величинами W и f.. [c.46] Левее и выше заштрихованных клеток лежат области значений IV, для которых число уходящих от разрыва волн больше, чем условий на разрыве, полученных из законов сохранения. Однако, бывают ситуации, когда на разрыве выставляются дополнительные граничные условия, вытекающие не из законов сохранения, а из учета физических процессов внутри структуры разрывов. Наличие дополнительных соотношений может сделать эволюционными ударные волны, соответствующие прямоугольникам, сдвинутым относительно исходных влево-вверх. Источник появления таких соотношений будет обсуждаться ниже, в 1.14 и 1.15. [c.47] Для прямоугольников, которые лежат правее и ниже заштрихованных на рис. 1.9, число уходящих характеристик меньше, чем необходимо для эволюционности ра.зрывов. Как правило. [c.47] Бывают случаи, когда линеаризованная система соотношений на разрыве распадается на две (или несколько) независимых подсистемы и возмущение скорости скачка входит тогда лишь в одну из них. Условия эволюционности могут быть выставлены по-прежнему для всей системы в виде заштрихованных на рис. 1.9 прямоугольников, а затем, сверх того, для одной из двух подсистем еще дополнительные условия эволюционности. Обычно удобно требовать выполнения условий эволюционности для той подсистемы, которая не содержит. Для нее число соотношений на разрыве равно числу уходящих характеристик и эволюционные прямоугольники, которые соответствуют этой подсистеме, расположены вдоль диагонали координатного угла. Эволюционными для всей задачи будут разрывы, у которых Ш попало в перекрывающиеся прямоугольники. [c.48] Наиболее частая причина, приводящая к расщеплению линеаризованных граничных условий, связана с инвариантностью задачи относительно изменения на противоположное направления одной или обеих осей, лежащих в плоскости фронта ударной волны. Подобная ситуация имеет место в магнитной гидродинамике (см., например. Куликовский и Любимов [1962]), а также в некоторых других случаях (см. ниже Главу 4). [c.48] В случае, когда системы уравнений различны по разные стороны разрыва, на плоскости с ,с+ эволюционным разрывам будет соответствовать некоторая система прямоугольников, идущая снизу-слева наверх-направо, примыкающих один к другому углами. [c.48] Вернуться к основной статье