ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Волны Римана из "Нелинейные волны в упругих средах " Часто неэволюционностъ граничных условий рассматривают как неустойчивость решения задачи. Если граничных условий недостаточно, то решение линеаризованной задачи содержит произвол, что позволяет построить сколь угодно быстро растущее решение, удовлетворяющее начальным и граничным условиям. Если граничных условий слишком много, но существует решение задачи о взаимодействии границы с малыми возмущениями в нелинейной постановке, когда возникающие возмущения не малы, то это тоже можно рассматривать как неустойчивость. [c.31] До сих пор предполагалось, что скорость границы не равна ни одной из характеристических скоростей. Если такое равенство имеет место, то будем говорить, что на границе выполнено условие Жуге (по аналогии с теорией детонационных волн (Ландау и Лившиц [1986])). К такого типа границам относятся некоторые разрывы в задачах механики сплошных сред, играющие важную роль при построении решений. О них будет подробно сказано при описании решений с разрывами в упругих средах (Главы 4 и 5). [c.31] Количество различных решений типа волн Римана определяется числом линейно независимых собственных векторов. Из гиперболичности системы следует, что это число равно га. Будем дальше рассматривать одну из волн Римана, соответствующую простому корню характеристического уравнения, опуская индекс (т) у характеристической скорости. [c.32] Чтобы решение могло быть волной Римана, между значениями функций Uk в начальный момент должна выполняться та же связь (1.17), что и в выбранном решении и в), представляющем волну Римана. Поэтому начальные условия содержат только одну произвольную функцию, например, 0(а ,О) = во х). Кроме того, решение содержит га - 1 постоянных, выделяющих интегральную кривую уравнений (1.18). Решение, представляющее волну Римана, строится на плоскости x,t однозначно в области, где характеристики выбранного семейства не пересекаются. [c.33] Волны Римана являются естественным обобщением волн малых возмущений, рассмотренных в 1.2. Каждый элемент duk = duk/d9)de волны Римана представляет изменение, пропорциональное правому собственному вектору матрицы Цйг/ьЦ, т.е. такое же, какое имеет место в малых возмущениях, распространяющихся по заданному фону. Совпадают и скорости распространения этих возмущений. Поэтому волну Римана можно представить совокупностью малых возмущений, каждое из которых движется по фону, созданному предыдущим (рис. 1.4). Различие в скоростях этих малых возмущений вследствие uk) Ф onst приводит к деформации профиля волны. Движение волны напоминает движение колоды карт, при котором скорость каждой карты мало отличается от скоростей соседних карт. [c.33] Такие решения характерны для линейных систем. Но волны Римана, у которых с 0) — onst, нередко встречаются и у нелинейных систем (например, альфвеновские волны в МГД и аналогичные вращательные волны в теории упругости - см. 3.7). [c.34] Если на всей оси х выполнено неравенство d o/dx О, то характеристики на плоскости x,t, выходящие из точек оси х в область i О, являются расходящимися прямыми и решение существует и однозначно при всех i 0. Если же d o/dx О на каком-то интервале оси х, то найдется значение t = такое, что при t t характеристики будут пересекатьсл (i = min d Q/dx) ). Формальное продолжение решения в область i i делает это решение неоднозначным. [c.34] Верхняя часть профиля с х) смещается быстрее, чем подошва., и в момент времени достигается положение с вертикальной касательной дс/дх = оо) в некоторой точке. При дальнейшем продолжении этого решения ( 2 ) характеристики пересекаются (рис. 1.5 Ь) и решение становится неоднозначным (рис. 1.5 ). Это явление называют опрокидыванием волны. [c.36] В механике сплошной среды, где неоднозначные решения в большинстве случаев не имеют смысла, принимается, что в момент решение перестает быть непрерывным, благодаря чему остается однозначным. Возникает необходимость строить и исследовать решения, содержащие разрывы, что будет сделано в следующих параграфах. [c.36] Характеристики, начинающиеся на том участке оси х, где (1со1с1х О, расходятся, профиль функции с х,1) со временем становится более пологим и область, занятая этой частью волны Римана, расширяется. Расширяющиеся волны Римана представляют гладкое решение, существующее как угодно долго. [c.36] Если нелинейность в уравнениях (1.6) не очень большая (однако, дс1дв Ф 0), то при сходящихся характеристиках решение достаточно долго остается непрерывным. Но как бы малы ни были начальные возмущения, если подождать достаточно долго, характеристики обязательно пересекутся и волна опрокинется. Это свойство рещения заложено в самих уравнениях и не связано с гладкостью начальных функций. [c.36] Решение, изображенное на рис. 1.6, может быть получено предельным переходом из волны Римана, соответствующей начальным данным в виде размазанной ступеньки , когда ширина размазки стремится к нулю. Если рассмотреть такой же предельный переход для ступеньки, в которой сх С2, то получим, что время однозначности решения в виде волны Римана будет стремиться к нулю вместе с шириной размазки. Если считать, что при решение содержит разрыв, то в пределе получим. [c.37] Когда в волне Римана с = onst, разрывы в начальных условиях сохраняются при всех t в решении типа бегущей волны. Такие разрывы существуют, в частности, и у линейных систем. [c.38] Вернуться к основной статье