ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые обобщения из "Биллиарды Введение в динамику систем с ударами " Рассмотрим выпуклую область в К . Ее граница Г гомеоморфна сфере 5 . Представим себе поверхность Г изнутри зеркальной и рассмотрим траектории луча света внутри нее. Очевидно, получившаяся динамическая система является естественным трехмерным обобщением биллиарда Биркгофа. Аналогично можно определить биллиарды более высокой размерности. [c.65] Идеи доказательства теоремы 1 могут быть использованы для оценки количества периодических траекторий в многомерных биллиардах. Однако в случае размерностей больших чем два возникает ряд новых трудностей. [c.65] Первая из них состоит в невозможности определить число оборотов, совершенных периодической траекторией. Таким образом, отличать друг от друга траектории с одинаковым числом звеньев значительно сложнее в частности, если найдена периодическая траектория, число звеньев которой не является простым, то нет никакой гарантии, что она не является несколько раз пройденной траекторией с меньшим числом звеньев. [c.65] Теорема 2. 1) Количество геометрически различных п-звенных периодических траекторий многомерного биллиарда для простых п оценивается снизу числом at(D /Gn), где at — категория Люстерника—Шнирельмана. [c.66] Следствие. Трехмерный выпуклый биллиард имеет при простых п не менее п геометрически различных периодических п-звенных траекторий. [c.66] Вернуться к основной статье