ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные результаты лагранжевой и гамильтоновой аналитической механики систем с конечным числом степеней свободы из "Аналитическая механика континуальных систем " Нашей целью не является описание всего многообразия результатов, полученных в процессе развития методов решения задач механики, указанных Лагранжем, затем Гамильтоном и рядом многочисленных исследователей, из которых упомянем М. В. Остроградского, Якоби и Гаусса. Мы остановимся лишь на сравнительно небольшом числе понятий, необходимых для понимания оригинальной части этой работы. [c.5] Прежде всего следует сказать несколько слов о таких понятиях, как аналитическая механика вообше и о возникших сравнительно недавно понятиях о лагранжевой и гамильтоновой механике, хотя собственно лагранжева и гамильтонова механика существуют давно. Конечно, интерпретация этих понятий лишь отражает точку зрения автора настоящего параграфа. Однако уточнение нашего понимания этих представлений необходимо, так как на них мы ссылаемся в дальнейшем. [c.5] Под аналитической механикой в общем смысле следует понимать совокупность аналитических методов решения задач механики без привлечения наглядных графических изображений. Это представление соответствует определению аналитической механики, указанному Лагранжем в 1788 г. [73, 74]. Подчеркнем, что на аппарат аналитических методов решения задач механики не налагается никаких ограничений, за исключением требования их достаточности для исчерпывающего решения и анализа задач механики. [c.5] по-видимому, позволило Лагранжу объединить исследования движения систем с конечным и неограниченно большим числом степеней свободы, например решения задач о движении системы материальных точек и решения задач о движении жидкости. По существу же методы решения этих задач, предложенные Лагранжем, мало сходны между собой. Несходство их отражает глубокие физические различия между механикой дискретных систем и механикой непрерывной среды. [c.5] Особые успехи достигнуты в области теории движения дискретных систем и систем с конечным числом степеней свободы. Под влиянием небесной механики изучалось главным образом движение консервативных систем. [c.6] Под лангранжевой механикой в настоящее время понимают совокупность методов решения задач механики свободных систем, в которых основное значение имеет функция Лагранжа или кинетический потенциал. Эти методы распространяются на механику несвободных систем с интегрируемыми, или голо-номными связями. Можно показать эквивалентность между решением таких задач и установлением условий стационарности некоторого функционала, называемого механическим действием Гамильтона — Остроградского. Эти условия имеют прямой и обратный смысл. [c.6] Рассматривая задачи оптики, Гамильтон пришел к упомянутому выше механическому действию и соответствующему ему вариационному принципу. Одновременно с ним работал М. В. Остроградский, который сформулировал этот же вариационный принцип несколько позже, но в более общей форме. Теперь этот принцип называется принципом Гамильтона — Остроградского. [c.6] Наиболее существенно здесь, по-видимому, то, что последовательное развитие теории интегрирования составленных Гамильтоном уравнений движения консервативных систем, отличающихся лишь по форме от уравнений Лагранжа второго рода, позволило установить связь между процессами, протекающими в дискретных системах и непрерывной среде, в первую очередь между механическими движениями и оптическими явлениями. Это обстоятельство отмечает в своей книге Лан-цош [76]. [c.6] о которой было упомянуто, известна теперь как оптико-механическая аналогия [76]. В явной аналитической форме эта связь отображена в уравнении с частными производными первого порядка, связанном с именами Остроградского, Гамильтона и Якоби. [c.6] Согласно теореме Остроградского — Гамильтона — Якоби для построения общего решения уравнений движения консервативной системы достаточно найти лишь полный интеграл упомянутого уравнения [40] . [c.6] Конечно, неправильно противопоставлять лагранжеву механику механике гамильтоновой. По существу, в области механики это лищь две различные формы описания механических движений. Однако гамильтонов способ оказался более плодотворным. Этот способ позволил найти далеко идущие обобщения, указывающие, например, подходы к изучению микромира, и войти в форме этих обобщений в квантовую механику, в статистическую физику и т. д. [c.7] Гамильтонова механика проникла в общую теорию относительности и континуальную теорию дислокаций, т. е. в совершенно различные области теоретической физики. Одновременно происходило совершенствование и расширение средств аналитического решения задач механики. Например, теорема Остроградского— Гамильтона — Якоби может быть связана с теорией канонических преобразований. Еще в прошлом веке Ли обобщил соответствующие представления и открыл группу контактных преобразований канонических переменных, которые теперь принято называть преобразованиями, принадлежащими группе преобразований Ли. Теоретико-групповой метод начал интенсивно развиваться в последнее время. [c.7] Особое значение для теории интегрирования канонических уравнений динамики, составленных Гамильтоном, имеют интегральные инварианты, указанные Пуанкаре и обобщенные Кар-таном в первой четверти XX века [30]. Интегральные инварианты также объединяют понятия механики дискретных систем и представления механики сплошной среды. [c.7] Познавательное значение положений лагранжевой и гамильтоновой механики весьма велико. Отметим здесь лишь обобщенные геометрические представления, появившиеся в результате анализа фундаментальных положений аналитической механики, в первую очередь вариационных принципов. [c.7] По-видимому, эти факты способствовали формированию основных положений общей теории относительности. [c.8] Теперь дадим характеристику физических основ аналитической механики. [c.8] Этими основами является совокупность законов и аксиом механики Ньютона свободной механической системы, дополненная аксиомой об освобождаемости от связей. Следовательно, понятие о связях является одним из основных понятий аналитической механики. [c.8] Напомним, что связью называется ограничение, налагаемое на координаты механической системы, скорости и, быть может, производные от скоростей, наперед заданное, т. е. не зависящее от закона движения системы. Такое ограничение обычно можно описать системой уравнений, или неравенств. Количество этих уравнений обычно рассматривается как количество связей. Заметим также, что каждой связи соответствует вызываемая ею реакция. Из сказанного, например, видно, что пружина, поддерживающая груз, не является связью, так как ограничения, налагаемые ею на движение груза, зависят от закона движения груза и не могут быть наперед заданными. [c.8] Вернуться к основной статье