ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Локальная гиперболическая теория и ее приложения из "Введение в современную теорию динамических систем Ч.1 " В этой главе мы осуществляем часть программы, сформулированной в 4 введения. Главный принцип нашего анализа состоит в использовании своего рода гиперболичности линеаризованной динамической системы вдоль определенных орбит. Мы покажем, что она порождает аналогичное поведение нелинейной системы вблизи некоторой заданной орбиты (теорема Адамара — Перрона 6.2.8). Комбинация локальной гиперболичности, возникаю-ш,ей в линеаризованной системе, с нетривиальным возвращением, явлением по существу нелинейным, приводит к изобилию периодических орбит (теорема Аносова о замыканни 6.4.15) и порождает богатую и устойчивую во многих отношениях структуру орбит, которая будет далее исследоваться в части 4. [c.243] Чтобы избежать неоднозначности в обозначениях, мы будем преимущественно рассматривать гладкие динамические системы с дискретным временем / М М. Зафиксируем некоторое начальное условие р М. Наша главная цель — найти начальные условия х, итерации которых под действием / остаются достаточно близко от итераций р в течение достаточно длительного времени, положительного или отрицательного, а также выяснить асимптотическое поведение итераций / (х) относительно / (р). Нас будут особенно интересовать такие условия х, для которых итерации / (х) остаются близкими к / (р) для всех положительных или отрицательных значений п. [c.243] Главным инструментом этого анализа будет информация относительно асимптотического поведения линейных отображений (1 / )р при п — -Ьсхз или п — —схз, которое в определенном смысле отражает асимптотическое поведение начального условия, бесконечно близкого к р . Мы покажем, что при определенных условиях поведение некоторых орбит нелинейной системы / относительно нашей заранее заданной орбиты имитирует поведение орбит линеаризованной системы. [c.243] Хотя наше внимание в этой главе сосредоточено на гиперболическом слу чае, когда интересующие нас качественные явления проявляются особеннс ярко, принимая во внимание различные приложения, естественно рассмо треть несколько более общую ситуацию экспоненциального разложенш (определение 6.2.6). Главный технический результат этой главы — теоре ма 6.2.8 — формулируется именно для этой ситуации. [c.244] До СИХ пор мы рассматривали локальный подход, основанный на предположении, что линеаризованная система служит моделью локального поведения нелинейной системы, таким образом подразумевая, что нелинейные члены создают неприятное возмущение, которое должно находиться под нашим контролем. Естественный следующий шаг в локальном анализе — попытаться рассмотреть члены более высокого порядка (по сравнению с линейными) более систематическим и специфическим способом и попробовать более точно определить, до какой степени их влияние должно приниматься во внимание и нельзя ли его просто игнорировать. Мы рассматриваем эту проблеи в 6.6. И вновь гиперболическая периодическая орбита наиболее удо на для такого анализа. Определяющими явлениями здесь служат некоторые резонансы между собственными значениями линеаризованного отображения. Их присутствие или отсутствие определяет, какие члены более высокого порядка должны приниматься во внимание. В негиперболическом случае этот анализ преимущественно формален, т. е. он может быть проведен только с точностью до членов (произвольно) высокого порядка, в то время как в гиперболическом случае такой анализ дает гладкое сопряжение. [c.245] Определение 6.2.1. Точка р называется гиперболической периодической /почкой диффеоморфизма /, если ( )/ ) Т ,М — гиперболическое линейное отображение (определение 1.2.5). Ее орбита называется гиперболической периодической орбитой. [c.245] Конечно, гиперболическая периодическая точка диффеоморфизма / периода п является гиперболической неподвижной точкой для и наоборот. Следовательно, для целей локального анализа обычно достаточно рассматривать только гиперболические неподвижные точки. [c.245] Для полноты дадим аналогичное определение для динамических систем с непрерывным временем. В этом случае мы полагаем, что гладкое векторное поле определено в 17 и что орбита точки р 17 находится в и и замыкается в момент времени io. Имеются два возможных случая либо (р) = 0, либо р)фО. [c.245] При (р)фО точка р называется гиперболической периодической тс кой периода t для потока (p , если pt(p) = p и линейный оператор (D p Т М Tj M имеет единицу в качестве простого собственного значеи и при этом не имеет никаких других собственных значений, по моду, равных единице. [c.246] Можно также определить гиперболичность периодической точки для с стемы с непрерывным временем, используя отображение Пуанкаре ( введения). А именно, пусть N — маленький диск коразмерности один, держащий точку р, трансверсальный к векторному полю Тогда отоб] жение Пуанкаре (отображение возвращения) F V — N определено д некоторого открытого подмножества V с N, содержащего р, и F (p) = В этом случае точка р будет гиперболической периодической точкой пето p тогда и только тогда, когда она является гиперболической неподвижн точкой отображения F . [c.246] В отличие от локального устойчивого и неустойчивого многообразий глобальные многообразия обычно вложены в фазовое пространство сложным способом. Типичный вид устойчивого и неустойчивого многообразий показан на рис. 6.5.2. В случаях, когда это не приводит к путанице, мы не будем упоминать отображение / и будем говорить просто о локальном и глобальном устойчивом и неустойчивом многообразиях в данной точке. [c.247] Таким образом, устойчивое и неустойчивое многообразия гиперболической неподвижной точки могут быть определены в чисто топологических терминах. Поскольку теорема 6.2.3 описывает исключительно динамику в окрестности точки р, она может быть переформулирована в локальных терминах. А именно, можно ввести такие координаты в некоторой окрестности точки р (с началом координат в р), что E (Df ) и E Df ) касательны к координатным плоскостям R х 0 и 0J х соответственно. Теорема 6.2.3 в этой локальной (или евклидовои) форме становится тогда частным случаем главного результата этого параграфа — теоремы 6.2.8. Гладкие подходящие координаты получаются нз координат -ф i7—из доказательства теоремы 6.2.8, в которых является графиком некоторой функции R — R, а WJ4 — графиком некоторой функции ip М - 1R , после перехода от переменных (ж, у) е R R к (х, у ) = х - tp y), у - р х)). [c.247] Рассматривая R как каноническое произведение R х R и произвол если нужно, ортогональные замены координат в R , можно считать, ч-в предыдущем определении i + = R х 0 и Е- = 0 х R - для некот poro А , О f п, и всех т. [c.248] Доказательство. Для 77 О рассмотрим такую С -функцию р R -- [0,1], что р=1 на 5(0, 5) и р =0 вне 5(0,r ), ЦДрЦ Q/t и f = p-f + (l p)Dfg (где p-f считается нулем при р =0, д е если диффеоморфиэ / не определен в соответствующей точке). Тогда / — D/q = p-(f — D/q). Тг как / является С -отображением, мы имеем f — Dfo a — Кроме тог IP(/- 1/о) Ц )р(/- /о) + р(1 /- /о) =о(1) по 77. Лемма доказана. [c.248] Прежде чем перейти к доказательству, сделаем несколько замечаний, разъясняющих утверждение и смысл теоремы. В ходе доказательства мы зафиксируем 7 = min (1, / /X - 1) и 5(А, , 7) так, что А , и, таким образом, свойство (ill) станет осмысленной характеристи.кой многообразий W+ и W 6 X, , f) тогда определится дополнительным условием (6.2.4) (см. ниже). Подчеркнем, что большинство оценок не используют предположения 7 1. При первом чтении можно игнорировать зависимость наших данных от m и рассматривать вместо этого итерации одного локально определенного отображения /. Это дает локальный вариант теоремы 6.2.3. [c.249] Вернуться к основной статье