ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Кинетика газа из "Динамика и информация " Появление случайных операторов проектирования можно учесть в уравнении (328) дополнительным слагаемым типа Мф. После этого обобщенное уравнение Шрёдингера перестает быть обратимым, и соответственно эволюция квантового поля, описываемая соотнощениями (330), (331), имеет место только между коллапсами. В общем же случае многих взаимодействующих частиц эволюция квантовой системы становится гораздо сложнее, а главное, она перестает быть обратимой. Необратимость возникает в конечном счете вследствие информационной связи данной квантовой системы с неравновесным внешним миром. [c.305] Кинетическая теория классического газа представляет собой вполне законченную область физики. Для описания газа используется уравнение Больцмана, которое решается обычно методом Чепмена-Энскога, т.е. разложением по обратным степеням члена столкновений. Тем самым из уравнения Больцмана выводятся уравнения газодинамики, т.е. уравнения Навье-Стокса. Кинетические коэффициенты этих уравнений вычисляются с помощью уравнения Больцмана. В случае очень резких градиентов, например, имеющих место в ударной волне, вместо уравнений Навье-Стокса можно воспользоваться методом моментов с той или иной процедурой замыкания высших моментов. Такой подход дает вполне удовлетворительные результаты. [c.305] Как мы установили выше, волновая функция каждого атома или молекулы газа выглядит, как волновой пакет. Размеры такого пакета в конфигурационном пространстве имеют порядок величины й = (Йт/т) = (ЯЯв) . А по импульсам волновой пакет имеет неопределенность порядка др Н/Ь. Таким образом, волновой пакет занимает одну ячейку в фазовом пространстве. Соответственно, волновые функции атомов газа заполняют только очень малую долю ( 1 от всего фазового пространства. Именно по этой причине волновую функцию всех атомов в единичном объеме можно считать равной произведению (223) индивидуальных функций вида (230), т.е. [c.306] Отсюда видно, что функция я А(г) играет роль микроскопической функции распределения частиц. Если нас не интересуют флуктуации этой функции в фазовом пространстве, то можно произвести дополнительное усреднение по центрам волновых пакетов, и тогда мы получим обычную функцию распределения Дг, V, /). [c.307] Естественно, что такая плавная функция а(г, v, t) связана с функцией распределения соотношением Дг, v, г) = a(r,v, г) . Таким образом, уравнение (336) является уравнением свободного движения для амплитуды a(r,v,/), а не для функции распределения Дг,у, г). Уравнение для последней получается как следствие уравнения для амплитуды достаточно лишь умножить (336) на а и сложить с комплексно сопряженным уравнением. [c.307] Из этих соотношений видно, что наибольшее количество информации содержится в исходных выражениях (333), (334) для волновой функции ф т). При переходе к матрице распределения (338) часть этой информации теряется. Еще больше информации теряется при переходе от матрицы распределения к матрице плотности. Естественно, что при переходе к функции распределения теряется вообще вся квантовая информация. [c.308] Учтем теперь столкновения между частицами. Как было аргументировано в разделе 38, столкновения частиц можно описывать как случайный процесс каждое реальное столкновение уничтожает два налетающих пакета и рождает два новых пакета. При этом сохраняется суммарный импульс и суммарная энергия взаимодействующих частиц. Число частиц тоже сохраняется, но иногда процесс рассеяния удобно считать происходящим в две стадии — сначала уничтожаются две налетающие частицы, а затем рождаются две новые, т.е. рассеянные частицы. [c.308] Здесь ф г) представляет собой сумму всех волновых пакетов (333), а множитель ехр(-1кг) добавлен для того, чтобы выделить амплитуду А г,у,1) из результата действия операторов рассеяния на волновую функцию ф т). Первая сумма в правой части (340) описывает инжекцию волновых пакетов с импульсом Йк при рассеянии волновых пакетов к, Ц, а вторая сумма описывает убыль волновых пакетов к из-за рассеяния на пакетах к]. [c.309] Здесь Ао отвечает максвелловскому распределению, так что ИоР = /о( , V, О, где /о — локальная максвелловская функция распределения. [c.310] Умножая (344) на А и складывая результат с комплексно сопряженным уравнением, можно получить кинетическое уравнение Больцмана (233) с членом столкновений в т-приближении (236). Из этого уравнения можно затем получить уравнения газодинамики с помощью приближенной теории возмущений, т.е. разложением по обратным степеням члена столкновений. [c.310] мы видим, что переход к классике осуществляется путем усреднения квадрата амплитуды А волновых пакетов. Рассмотрим теперь задачу о броуновском движении. Пусть броуновская частица выглядит как шарик с радиусом Ка. Тогда о такую частицу в единицу времени ударяет в среднем пАпК у-г атомов. Можно сказать, что величина Оа = 4пК1 играет роль поперечного сечения рассеяния атомов газа на броуновской частице конечных размеров. [c.310] Обозначим через К координату броуновской частицы с массой М. С точки зрения квантовой теории броуновской частице следует приписать волновую функцию Р(К,/). Как мы установили в разделе 37, волновая функция точечной броуновской частицы стягивается со временем в волновой пакет с размерами (т/Л/) . Здесь Ь = у/ХвХ — ширина волновых пакетов атомов газа, т/М — отношение массы атома к массе броуновской частицы, Я — длина пробега атомов газа. Сечение рассеяния Са атома на броуновской частице считается равным а. Здесь мы опишем броуновскую частицу конечных размеров. [c.310] Здесь Ь = /ЯЯв — ширина волновых пакетов атомов газа. [c.311] В другом предельном случае X 4 Ка рассеяние атома на броуновской частице происходит как отражение от границы макроскопического тела. Как было показано в разделе 30 (см. также рис. 9), волновая функция отраженного атома оказывается запутанной (завязанной) с волновой функцией макротела согласно соотношению (144). При коллапсировании волновой функции отраженного от тела атома на расстоянии Я от границы тела волновая функция макротела испытывает поджатие того же порядка величины, что и при рассеянии атома на броуновской частице малых размеров. Если коллапсы волновых функций атомов, отраженных от границы макротела, считать не зависимыми друг от друга, то мы снова придем к оценке (345). [c.311] В разделе 9 мы рассмотрели один из простейших типов коллективного движения, а именно, звуковую волну малой амплитуды. Мы рассмотрим здесь эту волну с точки зрения волновых пакетов атомов газа. Как мы увидим, такой подход дает возможность сочетать классическое и квантовое описание. [c.312] Пусть колебания плотности в звуковой волне имеют вид и = о + Я. При классическом подходе величину п можно выразить через с помощью уравнения непрерывности (34). [c.312] Для простоты мы сохранили здесь прежнее обозначение ф тj) для функции одиночного атома, но следует иметь в виду, что функции (350) в у/п раз больше, чем функции (333). Разумеется, при вычислении физических величин эта разница в нормировке функций роли не играет. [c.313] Так как согласно (229) волновая функция факторизуется, то уравнение (351) можно рассматривать как укороченную запись уравнения Шрёдингера для индивидуальных функций t/ (r,). [c.313] Сумму по к от второго слагаемого в квадратных скобках можно считать исчезающе малой, поскольку распределение по к практически изотропно. Что касается оператора Aj, то его удобно преобразовать с помощью перехода к новым переменным = х - siп( x). [c.313] Лапласиан А описывает расплывание волновых пакетов в относительной системе координат, движущейся со скоростью и. Как мы знаем, такое расплывание компенсируется столкновениями, и поэтому оператор Ау можно опустить. После этого сумма XI Ау (351) превращается просто в оператор 0 /0 (мы учитываем, что суммирование по у сводится к умножению на /V и усреднению siп хх). [c.314] Вернуться к основной статье