ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Волновые функции атомов газа из "Динамика и информация " Волновые функции атомов разреженного газа обычно представляют себе в виде плоских волн. Это допущение, почерпнутое из стандартной двухчастичной теории рассеяния, где всегда можно считать, что in) и out) состояния находятся вне области взаимодействия, кажется здесь вполне естественным. В самом деле, в разреженном газе длина свободного пробега много больше среднего расстояния между атомами. Поэтому рассеянные волны успевают распространиться на большое расстояние от точки рассеяния, и их локальная структура приближенно выглядит как плоская волна. В действительности, этот вопрос требует более детального исследования, поскольку в отличие от обычного двухчастичного рассеяния атомы газа постоянно взаимодействуют друг с другом. [c.220] Соответственно, при ретроспективном взгляде на эволюцию волновых пакетов их можно считать пульсирующими образованиями с начальным значением и конечным значением + ihr/т. [c.221] Рассмотрим теперь сам коллапс волнового пакета, когда Л быстро изменяется от значения + ihx/m до значения = Ь . [c.221] Изложенный выше подход явно вводит в рассмотрение коллапсы волновых функций. Тем самым волновым функциям придается информационный характер с включением процессов самоизмерений , когда волновая функция частицы полностью уничтожается в тех областях пространства, где данная частица отсутствует. Не удивительно поэтому, что уравнение вида (221) может быть использовано для моделирования непрерывных измерений [80]. [c.223] В этом соотношении мы не учли пока принцип тождественности частиц. Каждая из функций нулевого приближения удовлетворяет уравнению Шрёдингера одиночной частицы. С учетом коллапсирования, она имеет вид волнового пакета (222). [c.223] Здесь ку — волновой вектор пакета с номером j . Таким образом, симметризованная одночастичная волновая функция (224) выглядит как набор волновых пакетов (225). [c.224] Как мы видим, первое слагаемое в (226) аналогично выражению (227) с уширенными -функциями вместо (г — г ) нужно подставить функцию А ехр [-(г - г ) /Лд] нормированную на единицу. [c.224] Что касается второго слагаемого в (226), то оно оказывается малым. Дело в том, что в произведения вида ф (г) фJ r) дают вклад только перекрывающиеся волновые пакеты и знак произведения не определен. Оценить второе слагаемое можно, взяв квадрат его модуля и усреднив результат по г. Такая оценка показывает, что вклад второго слагаемого не больше флуктуаций плотности и поэтому мы им пренебрежем. [c.224] В сумме (226) можно ограничиться только теми пакетами, которые попадают в рассматриваемый нами единичный объем. Соответственно функцию / (г) будем считать нормированной на единицу 1 1 = 1. [c.225] Здесь первый член справа отвечает произведению, когда все фj rj) различны, а второе слагаемое (записанное в символическом виде) соответствует таким членам, когда две или более частиц попадают в одну и ту же ячейку размером Лд. В невырожденном бозе-газе при нормальной эволюции волновой функции Ч 1) с рассеянием волновых пакетов друг на друге, ситуация с двумя частицами в одном пакете — чрезвычайно редкое событие. [c.225] Но и чисто формально второй член в правой части (228) гораздо меньше первого ведь первый член создается и перестановками частиц, а во втором члене при попадании двух частиц в один и тот же пакет число возможных перестановок равно п п - 2) , т.е. в (и - 1) раз меньше. Так как по предположению и 1, то вторым членом в (228) можно пренебречь. [c.225] Разумеется, это представление является приближенным, поскольку оно предполагает, что все ф г) имеют форму стандартных волновых пакетов в модели непрерывного коллапсирования. Однако ничто не мешает нам найти более точные выражения для фJ r) и учесть рассеянные волны. [c.225] Здесь плотность п считается постоянной. [c.226] Сделаем еще два замечания. Первое с помощью функций вида (225) нетрудно найти матрицу плотности. Ее диагональные элементы совпадают со средним значением /( (г) , а недиагональные члены соответствуют выбранной нами стандартной форме волновых пакетов (225). Второе при выводе выражения (224) для волновой функции ф г) мы предполагали, что имеем дело с бозе-частицами. Но поскольку выражение для огибающей а(г) определено с точностью до произвольного фазового множителя ехр(1а), выражением (224) можно пользоваться и для ферми-частиц при температурах, далеких от вырождения. Таким образом, в разреженном теплом газе можно не делать различия между бозе- и ферми-статистиками. [c.226] Но квантовая механика позволяет еще определить эволюцию ф с последующей интерпретацией этой величины как вероятности попадания частицы в соответствующую область пространства. Ясно, что наше описание газа в терминах волновых пакетов должно быть согласовано с эволюцией ф . Поэтому коллапсы должны следовать закону р ф , где р — соответствующая вероятность. Можно сказать, что закон р ф является как бы наложенной извне связью ( onstraint), которой должны подчиняться коллапсы волновых функций в газе. [c.227] Здесь V — скорость частицы, соответствующая величине Ьк/т волнового пакета. Правая часть уравнения (233) представляет собой член столкновений, состоящий из двух нелинейных интегральных выражений. Первое из них описывает убыль частиц со скоростью v, и его приближенно можно представить в виде — //т. А второе выражение описывает поступление частиц в окрестность скорости v за счет их столкновений. В предельно простом случае так называемого т-приближения этот член можно записать в виде /о/т, где /о — максвелловская функция распределения. [c.227] Обычно кинетическое уравнение выводят путем нахождения рассеянных волн с последующей интерпретацией ф как вероятности данного рассеяния. Но можно поступить и по-другому. [c.227] Здесь а(г, к, t) — амплитуда пакета с волновым числом к = my/Ti, а ао — амплитуда пакета, принадлежащего равновесному распределению, так что среднее значение п ао = /о. [c.228] Вернуться к основной статье