ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Случайная волновая функция из "Динамика и информация " В этой же главе предложены кинетические уравнения для амплитуд, а не для их квадратов — аналога матрицы плотности. Кинетическое уравнение для амплитуд сохраняет гораздо больше информации о волновых функциях, чем аналогичные уравнения для функции распределения или матрицы плотности. [c.137] Рассмотрим теперь несколько более сложный мысленный эксперимент, с помощью которого мы в крайне упрощенной форме познакомимся с эволюцией квантовой системы, находящейся в постоянной информационной связи с внешним миром. [c.137] А именно, мы предположим, что квантовая частица подвергается измерению не с помощью приборов, а вследствие взаимодействия с неравновесным окружением. [c.137] Соответствующая схема эксперимента представлена на рис. 9. [c.137] Поскольку взаимодействие частицы со стенками носит случайный характер, то и (/ -функция становится случайной. Для ее описания можно развить соответствующие строгие методы статистической физики, но в данный момент более целесообразно сосредоточиться на качественной картине явления. Поэтому мы пойдем на существенные упрощения, описывая (/ -функцию только ее моментами, т.е. усредненными значениями для положения волнового пакета х), его ширины ((х - (х)) ) и скорости V = р)/т, где р — импульс, а угловые скобки означают усреднение с весом ф . [c.138] Пусть т есть среднее время между последовательными измерениями . Тогда в среднем ширина пакета перед столкновением со стенкой будет определяться соотношением (142) при г = т. Квадрат ширины локализации волнового пакета сразу после неупругого столкновения с холодной стенкой определяется процессами измерения порций тепла, которые происходят в самой стенке. А величина среднего времени т пропорциональна расстоянию между стенками и является свободным параметром. Она может быть выбрана таким образом, чтобы второе слагаемое в (142) было много больше первого. Другими словами, широкий волновой пакет после измерения сжимается до размеров, много меньших его ширины на подлете. Обозначим через величину (142) при г = т, т.е. непосредственно перед неупругим ударом. Усредняя (142) по времени между ударами, можно определить среднее значение сР = (яд + 26 )/3. Таким образом, волновой пакет осциллирует по ширине между тл а , имея средний квадрат ширины сР. [c.139] случайное блуждание квантовой частицы можно рассматривать как диффузию волнового пакета с вероятностью распределения р 1, его центра тяжести, эволюция которой определяется уравнением (143). Распределение по скорости V можно считать максвелловским, а квадрат ширины х ) периодически то сжимается до после удара, то расширяется до величины перед следующим ударом. [c.139] Теперь рассмотрим, как такая случайно движущаяся квантовая частица взаимодействует с макроскопическим телом с массой М. Пусть волновая функция макротела равна Р(Х), где X— координата правой границы тела, о которую может ударяться частица. До взаимодействия с частицей волновую функцию Ч (Х) можно считать стационарной, поскольку при М т квантовым расплыванием (X) можно пренебречь. При своем движении вдоль сосуда микрочастица рано или поздно столкнется с макротелом и, отразившись от него. [c.139] Схема на рис. 9 является, по существу, схемой косвенного измерения координаты макротела. После каждого такого косвенного измерения начальная функция W[X) коллапсирует в пакет шириной меньше оо/2. Величина Ч Х) до коллапса принимает на себя роль классической плотности вероятности распределения средних значений координаты X для каждого из локализованных волновых пакетов, которые случайным образом порождаются столкновениями легкой частицы с горизонтальной стенкой. [c.140] У читателя, естественно, может возникнуть вопрос зачем нам понадобилось считать Т ф Тг Казалось бы, и обычный термостат должен разрушать квантовую когерентность и создавать смешанные состояния типа волновых пакетов из любого чистого состояния. На самом деле, это скорее вопрос не реального поведения, а логического обоснования. И при Т = Тг у нас есть основания говорить об отсутствии когерентности, но мы не можем пока с достоверностью утверждать, что эта некогерентность сопровождается измерением и коллапсом волновых функций. Случайные процессы коллапсирования более естественны для термодинамически неравновесных систем, но как мы увидим позднее, они происходят и при термодинамическом равновесии. [c.141] Здесь первый множитель под интегралом показывает вероятность отсутствия удара до момента , а величина й1/т равна вероятности измерения на интервале Если мы переходим к усредненной по времени вероятности, то число ударов за время Л/ следует считать равным Аг/т. Таким образом, предлагаемая логика автоматически приводит к классической цепи Маркова, а квантовый подход понадобился лишь для нахождения вероятностей перехода от одного измерения к другому. В итоге, для многих последовательных измерений мы получаем диффузионное уравнение (143) для р , 1) с Максвелловским распределением частицы по скоростям. От этих вероятностей можно было бы перейти к матрице плотности р х,х ) = (ф х)ф х )). Но как мы видим, в этом нет большой нужды. Найденные нами усредненные волновые пакеты, которые входят в выражение (147), играют роль базиса, в котором матрица плотности имеет диагональный вид р х,х ) представляет собой случайную выборку одного из таких пакетов с вероятностью, которая предписывается извне оператором измерения М ф). В результате для описания статистических свойств случайной волновой функции основную роль играют именно свойства измерения , а свободный пролет частицы от одного измерения до другого измерения определяет лишь величину коэффициента диффузии П. [c.142] Теперь мы видим, что оператор М ф) по отношению к его действию на ф, мало чем отличается от макроскопического прибора он осуществляет коллапс волновой функции по правилам теории измерений квантовой механики, т.е. в одно из взаимно ортогональных состояний. Если трактовать эти измерения в терминах превращения чистого ансамбля в смешанный, то нетрудно видеть, что матрица плотности р х,х ) изменяется при таких измерениях очень мало. В самом деле, осциллирующая зависимость от х - х матрицы плотности определяется, в основном, не размерами волновых пакетов, а максвелловским распределением по импульсам. Поэтому описание смешанного состояния в терминах матрицы плотности не является достаточно чувствительным, чтобы определить, происходят ли в самом деле коллапсы усреднение по ансамблю легко уничтожает соответствующую очень деликатную информацию. [c.143] Для описания измерений , приводящих к разрушению когерентности и коллапсу волновой функции, требуются более аккуратные подходы, в которых соответствующие процессы описываются явным образом. [c.143] Как известно из квантовой теории, универсальных измерений нет какие именно физические величины будут измерены и каким собственным векторам они соответствуют, целиком зависит от устройства прибора, точнее, от макроскопических условий измерительного процесса. [c.143] Вернуться к основной статье