ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Флуктуации и необратимость из "Динамика и информация " В частности, статистическое описание с введением вероятностей и усреднением по распределениям вероятностей лучше соответствуют описанию объектов, составленных из очень большого числа атомов. Если число атомов уменьшать, то на фоне вероятностного описания, которое не теряет своего усредненного по многим однотипным процессам смысла, начинают выступать и играть все большую роль индивидуальные процессы. Их можно назвать флуктуациями, и далее можно довольно произвольно выбирать степень детализации их описания. Например, движение броуновской частицы можно описывать как диффузию. А можно, повторяя часто измерения, описывать это движение как случайную марковскую цепь. В пределе, следя за частицей через очень малые промежутки времени, мы можем говорить об очень сложной траектории такой частицы. В любом случае, в применении к классической частице у нас не возникает сомнений в возможности сколь угодно точного описания. Однако для квантовой частицы это не так наблюдение сопровождается взаимодействием с макромиром, и это взаимодействие не может быть сколь угодно малым. Чтобы найти пути к более полному пониманию соответствующих эффектов, целесообразно сначала познакомиться с флуктуациями. [c.93] Термодинамические соотношения, которыми мы пользовались в разделах 2-5, относятся только к усредненным величинам. Это усреднение в реальных физических условиях может происходить как бы само собой, за счет медленности протекающих процессов. Соответственно, и усреднение формально должно производиться только по времени. В статистической физике показывается, что в случае большого числа частиц соответствующее усреднение может производиться не только по времени, но и по фазовому пространству, что в конце концов приводит к каноническому распределению. Однако дискретность, т.е. атомарная структура вещества, полностью не исчезает и проявляется во флуктуациях — малых отклонениях от статистического равновесия. В данном разделе мы познакомимся с простейшими примерами флуктуаций и обсудим их связь с необратимостью. [c.93] Это соотношение абсолютно симметрично по отношению к внутреннему, Fo, и внешнему, (F— Fo), объемам. При Fo — О и Fo — F флуктуации исчезают. А при малом значении Fo по сравнению с F имеем (SNq) = Vq/V. Это соотношение имеет очевидный физический смысл Fo/F— это просто та доля времени, когда внутри объема Fo находится точно одна частица, так что 5Nq) равняется единице, умноженной на вероятность попадания частицы в объем Vq. Мы видим, что для одной частицы квадрат флуктуации числа частиц SNq) равен среднему числу частиц Nq = Fo/F в объеме Fq. Другими словами, флуктуации очень велики, и поэтому они могут сушественно повлиять на логику некоторых наших предыдугцих рассуждений. [c.95] Вернемся опять к рассмотренному в разделе 3 процессу получения работы за счет тепловой энергии одной единственной частицы с использованием демона Максвелла, т.е. измерения положения или скорости частицы. Для простоты опять начнем с одномерного случая, считая, что частица находится в термостате с двумя торцами, расположенными на расстоянии L друг от друга по оси х. Сталкиваясь с торцами, частица в среднем поддерживает максвелловское распределение по скоростям с температурой Т. Если эффективная масса М звуковой волны, создаваемой ударом частицы в торце, значительно превышает массу т рассматриваемой частицы, то при каждом столкновении с торцом абсолютная скорость частицы изменяется только на малую т/М долю своей величины. Малость величины т/М достигается за счет того, что фононы в веществе из тяжелых атомов также являются тяжелыми и медленными. При т/М 4 1 атому придется испытать много столкновений, чтобы восстановить любое нарушение максвелловского распределения. Процесс релаксации в этом случае сходен со случайными блужданиями, описываемыми уравнением Ланжевена. За много столкновений максвелловское распределение обязательно будет восстановлено, и этот процесс нетрудно описать в терминах броуновского движения по импульсам. [c.95] Кажется, что в этой схеме эксперимента возникает угроза для второго закона термодинамики. В самом деле, фиксируя удар частицы о стенку, мы получаем только один бит информации, поскольку на фоне многих промежутков времени, когда не было ударов и не было поступления новой информации, вдруг лишь один промежуток оказался с сигналом удар . А это ровно один бит информации. Соответственно, на усвоение этой информации с последующим приведением в действие перегородки приходится увеличить внешнюю энтропию 5е на величину 1п2. А вот выигрыш в работе, кажется, может быть гораздо больше ведь начальный объем Ь можно расширить до величины Ь, которая может быть гораздо больше Ь. Соответственно, и энтропия возрастет на величину п Ь/Ь) Р 1. Однако не будем спешить с выводами. Оказывается, что для правильности рассуждений нужно учесть наличие флуктуаций. [c.96] Начнем с некоторого общего замечания. В статистической физике доказана знаменитая флуктуационно-диссипационная теорема, смысл которой заключается в следующем механизм любой диссипации является одновременно и механизмом рождения флуктуаций. Именно за счет этого баланса флуктуации никогда не вымирают, а поддерживаются на том уровне, который диктуется дискретностью, т.е. атомарной природой вещества. [c.96] В нашем случае диссипация, т.е. максвеллизация вероятности распределения частицы по скоростям, создается при столкновениях с теплыми торцами. Вместе с тем именно столкновения с торцами и служат источником поддержания флуктуаций. Рассмотрим этот процесс несколько подробнее. [c.96] Если частиц много, то и сами флуктуации малы, а механизм их возрождения является слабо возмущающим воздействием на усредненное распределение. [c.97] Рассмотрим теперь, что происходит при N = . Пусть по направлению к стенке летит облако плотности вероятности р х, г , г) Г де-то внутри него спрятана одна единственная частица. За время Д/ на поверхность стенки налетает слой Ах = г Д/ этого облака. Толщина этого слоя пропорциональна текущей скорости V. Если мы интересуемся только вероятностью р х, г , I), то в нашей модели мы должны взять долю /р х, V, 1)уА( у, относящуюся к вероятности нахождения частицы в данном слое, и превратить ее в максвелловское распределение с отражением от стенки. Если на стенку налетало максвелловское распределение, то и от стенки отлетит то же самое максвелловское распределение. [c.97] Если в облаке имеется много, скажем, N частиц с одним и тем же распределением p x,v,t), то Np x,v,t) =J x,v,t), и каждое столкновение выхватывает только одну частицу, так что функция распределения мгновенно трансформируется из Np x,v,t) в N — )p x,v,t) + 5 v — vo)S x - vot). При Npl случайный процесс создания флуктуаций не очень сильно нарушает исходное максвелловское распределение. Флуктуации в этом случае происходят по закону и при больших Остановятся относительно малыми. [c.98] А для одиночной частицы флуктуации очень велики они превращают движение частицы в классическое перелетание от одного торца к другому со случайным изменением скорости после каждого удара. Тем не менее кажется очевидным, что при очень медленном перемещении заслонки-поршня, когда столкновения можно считать очень частыми, усредненное по времени распределение частиц по скоростям можно считать максвелловским. Оказывается, однако, что и это совсем не так, поскольку существуют флуктуации. [c.98] Заметим, что если вместо одной частицы мы имеем N частиц и эти частицы не взаимодействуют между собой, то эффект исчезновения давления при перемещении перегородки будет приложим к каждой частице в отдельности, так что в среднем давление исчезнет при удвоении объема даже при NP I. [c.99] На первый взгляд кажется, что наш пример слишком искусственен и что можно найти условия, при которых одним измерением удара о торец можно отгородить частицу на расстоянии Ь от торца, а затем, расширяя объем до полной длины L, увеличить энтропию частицы на величину n L/b) и совершить соответствующую работу за счет тепловой энергии. Однако это не так. Рассмотрим, например, более реалистичный случай, когда частица находится в цилиндрическом термостате радиуса а. Тогда максвелловское распределение может устанавливаться за счет столкновений с боковыми стенками, так что появление медленного продольного движения частицы со скоростью, меньшей скорости поршня, большой роли не играет частица сможет быстро восстановить продольную скорость за счет максвеллизации распределения боковыми стенками. [c.99] Эта величина при а/Ь гораздо меньше средней частоты столкновений щ/Ь для свободно движущейся частицы. Таким образом, в узкой трубке работа, совершаемая частицей над поршнем, оказывается существенно меньше, и большая скорость максвеллизации ничуть не помогает, но даже мешает совершению работы. [c.100] флуктуации играют большую роль, в особенности, если речь идет об одной частице. Подчеркнем, что флуктуации можно рассматривать как составную часть необратимого процесса диссипация рассасывает последствия флуктуативного поведения, но вместе с тем рождает новые флуктуации. В частности, процесс максвеллизации частицы на теплой стенке можно рассматривать как случайно повторяющийся процесс уничтожения плотности вероятности, текущей к стенке, и рождения узко локализованного по л и г состояния это типичный коллапс распределения вероятностей для классической частицы. [c.100] Несколько сложнее выглядит картина при коллапсе чистого состояния. Допустим, что на стенку падает очень широкий почти монохроматический пакет с Ах Ар 4 Л. Величина ф в таком пакете играет роль распределения вероятностей и поэтому она, в принципе, может коллапсировать точно так же, как плотность распределения вероятностей классической частицы. Если бы ф было классическим распределением вероятностей, то неупругое отражение, сопровождаемое записью информации об ударе в самом теле, просто случайно выхватывало бы частицу из облака ф , уничтожив полностью падающую часть и испустив сильно локализованную отраженную часть плотности вероятности. Что-то похожее происходит и с квантовой частицей. Если разрезать падающий волновой пакет на широкие доли толщиной Лх, то при достаточно большой величине Лх коллапс произойдет только в один из слоев. Сам факт локализации по х автоматически уширяет распределение по импульсам на величину h/Ax. Это уширение не может быть больше меры неупругости столкновения. Если, например, при столкновении скорость частицы меняется на величину масштаба г т, то минимальный размер неупругого отраженного пакета может составлять величину h/mvi = Ьо. Поскольку неупругое отражение частицы происходит от многих атомов стенки, то при Лг величина Ьо соответствует длине когерентности пакета. Естественно допустить, что частица попадает только в один из когерентных пакетов. Если по каким-либо обстоятельствам вероятностная локализация частицы окажется существенно больше ширины когерентности, то это означает, что мы опять получаем смешанное состояние с некоторым распределением вероятностей if нахождения частицы в i-м чистом состоянии. [c.101] Этот весьма принципиальный вопрос следует рассмотреть подробнее. [c.102] а все остальные вероятности обращаются в нуль. Происходит случайное событие со сбросом энтропии частицы до нуля, но при этом обязательно появление одного бита информации в стенке заштрихованной ячейки на рис. 36. [c.102] Эта информация могла бы подвергнуться последующей переработке воспринимающая система могла бы записать эту информацию, как одну из 7V = Ь/Ь возможностей, так что соответствующая величина /равнялась бы / = п Ь/Ь). При этом / относилась бы к информации внешней системы наблюдения относительно положения частицы, и мы имели бы 1+ S = onst = п Ь/Ь). [c.102] Если удар частицы о стенку запускает в действие внешнюю информационную систему, то с помощью полученной информации можно получать работу за счет теплового движения. А если этого не делать, то воспринятая информация просто забывается в необратимом процессе возрастания энтропии. Чтобы получить максимум работы, нужно использовать максимальные возможности для восприятия информации и последующего возрастания энтропии частицы в процессе расширения свободного объема. [c.102] Вернуться к основной статье