ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача о прохождении. Конечное усиление возмущений из "Взаимодействие волн в неоднородных средах " Здесь и далее для простоты считаем коэффициент нелинейного взаимодействия У действительным. [c.105] Расстройка фазового синхронизма по частоте Аю приводит к тому, что раснадная неустойчивость имеет место только для волн с достаточно большой амплитудой сз1 Аю/271. [c.105] Ситуация существенно усложняется при наличии расстроек фазового синхронизма А(х), вызванных неоднородностью среды. Проанализируем, следуя Розенблю-ту [7], в каких случаях в неоднородной среде может осуществляться экспоненциальное нарастание возмущений со временем, т. е. абсолютная неустойчивость. [c.105] При выводе уравнения (33.4) мы считали У(х) и у,(ж) достаточно медленно нзменяющимися функциями, чтобы можно было пренебречь производными от этих величин. Учет пространственной зависимости У(х) и Vi x) становится важным, например, в областях, где эти величины проходят чёрез нуль. В дальнейшем такие случаи рассматривать не будем, считая для простоты дти величины постоянными. [c.106] Попытаемся найти решение уравнения (33.4), локализованное в безграничной среде (т. е. убываюш ее на бесконечности). Если такое решение существует при Ке Ро О, то Ро соответствует собственному значению нормальной моды, растущей со временем. Если таких решений нет, то может иметь место только конечное усиление начальных возмущений. [c.106] Если Vi,V2 О, то Такое решение, вообще говоря, построить можно. Пусть для онределенности ь О, г, 0. Тогда убывает нри ж 0, а — нри ж 0 весь вопрос в том, сможет ли удовлетворить частное решение с такими асимптотиками условиям сшивки в начале координат. Обратимся к анализу частных случаев. [c.107] Из (33.10) В1ВДН0, что с ростом Уо величина б уменьшается. Таким образом, при достаточно больших значениях Va существует собственная функция, соответствующая значению р с Ке р О (см. (33.8) — (33.10)), а следовательно, реализуется абсолютная неустойчивость. [c.108] В предыдущем параграфе было показано, что в лн-нейно-неоднородной среде абсолютная неустойчивость отсутствует независимо от знаков групповых скоростей волн возмущения. В данном параграфе мы построим стационарную картину усиления колебаний в отсутствие абсолютной неустойчивости [11]. [c.108] Будем считать, что постоянные, соответствующие падающим волнам, в выражении (34.8) заданы. Тогда решение позволяет определить амплитуды уходящих волн. Обозначим в (34.8) константы, отвечающие падающим волнам, Ац а уходящим —i i ( = 1, 2). [c.109] Таким образом, для i ii 2 0 усиление имеет место при Z О, а для v v2 О — нри z 0. Диагональные элементы матрицы В представляют собой коэффициенты усиления падаюш ей волны, а недиагон альные определяют амплитуду возникаюш ей волны с частотой биений. [c.110] Таким образом, модуль амплитуды экспоненциально возрастает в резонансной области l 2z с пространственным инкрементом z и достигает максимального значения, которое в l,9z раз превышает стационарный уровень, а затем осциллирует с уменьшающимися амплитудой и периодом. [c.110] Аналогичная задача для У1У2 О сводится к случаю надбарьерного отражения. Точки поворота оказываются на мнимой оси. Коэффициент усиления в этом случае также определяется формулой (34.15), но нри 1 11 2 0 в ней следует взять модуль произведения групповых скоростей. [c.111] Вернуться к основной статье