ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Случайные величины и случайные события из "Погрешности измерений физических величин " Мы уже знаем, что большинству измерений сопутствуют случайные погрешности, отличающиеся тем, что при каждом повторном измерении они принимают другое, заранее не предсказуемое значение. Существует еще много величин, обладающих тем свойством, что их точное значение не может быть указано и меняется от опыта к опыту. Такого рода величины называют случайными. Но не следует думать, что о численном значении случайных величин вообще ничего нельзя сказать. Как правило, можно указать границы, в которых оно находится, а также установить, насколько часто внутри этого интервала интересующая нас случайная величина принимает то илц иное значение. Опыт обычно показывает, что в разных случаях некоторые из этих значений появляются более часто, а другие - реже. Совокупность наблюденных значений такой величины и, частоты появления каждого из этих значений позволяет установить так называемый закон распределения случайной величины, который является столь же определенной ее характеристикой, как постоянное числовое значение, - характеристикой неслучайной величины. [c.26] Приведем примеры некоторых неслучайных и случайных величин. Моменты начала и конца солнечного затмения могут быть достаточно точно вычислены, и, таким образом, они неслучайны. Также неслучайно время прибытия поезда на станцию, потому что поезд движется по расписанию. Однако момент прихода такси на стоянку уже относится к случайным величинам, так как он заранее не предопределен. [c.26] Более внимательное рассмотрение показывает, что разница между этими двумя классами величин не всегда может быть oвepuJeн-но четко отмечена. [c.26] Это - если не учитывать опозданий, которые, увы, бывают. Если иметь в виду опоздание, то время прибытия поезда следует считать случайной величиной. [c.26] Точно так же и момент солнечного затмения, вычисленный на основании законов движения тел Солнечной системы, известных с некоторой точностью. Она и задает точность определения врс мени начала и конца затмения. В этом смысле момент начала затмения не относится к случайным величинам. Однако в пределах интервала времени, меньшего, чем тот, который может быть получен на основании наших знаний о движении Земли и Луны, момент наступления затмения должен рассматриваться как случайный. [c.27] числовые величины, характеризующие то или иное событие, часто являются случайными. [c.27] Наряду с этим сами события в одних и тех же условиях опыта могут произойти или не произойти. [c.27] Если подбросить монетку, то она может упасть либо гербом, либо противоположной стороной. Для хорошей монеты (не погнутой с ровными краями и т.п.) выпадение герба или решки будет в среднем происходить почти одинаково часто. Мы говорим, что то и другое - события случайные, происходящие с равной вероятностью. [c.27] Рассмотрим другой характерный пример случайного события. Допустим, имеется урна, о которой известно, что в ней содержатся одинаковые по массе и размеру шары двух цветов - черные и белые. Так как шары ничем, кроме цвета, не отличаются, то, если не смотреть в урну, мы не знаем, какой шар вытащим. Возьмем из урны шар, отметим его цвет и опустим назад в урну. После перемешивания повторим эту операцию снова и снова некоторое, достаточно большое число раз. [c.27] Если в урне п белых и ТЪ черных шаров, то в среднем мы должны вытащить их примерно одинаковое число. Иначе это можно выразить так всего в урне 2т1. шаров, из них ть белых. Отношение числа белых шаров к общему числу шаров в урне определяет так называемую вероятность появления белого шара. В данном случае эта вероятность будет п/ 7ь = 1/2. Такова же вероятность появления черного шара. Если число шаров неодинаково -допустим, белых в два раза больше, чем черных, - то легко сообразить, что вероятность вытянуть белый шар будет равна 2/3, а черный - 1/3. Очевидно, что если, кроме белых и черных, урна других шаров не содержит, то вероятность вытянуть белый или черный шар равна 1 (1/2 + 1/2 в первом случае, 2/3 + 1/3 -во втором). [c.27] В отличие от неслучайных событий, о которых нам может быть точно известно, появятся они или не появятся, мы никогда не можем сказать этого о событиях случайных. Частота появления случайного события определяется его вероятностью. Однако вероятностная оценка может быть достаточно надежной, и мы можем опираться на нее даже при предсказании самых важных для нас событий часто не менее уверенно, чем тогда, когда имеем дело с достоверными сведениями о событиях. [c.29] Допустим, например, что у кого-то имеется билет лотереи,- в которой на каждые 10 билетов приходится один выигрыш. Вероятность выигрыша для каждого билета составляет 0.1, а вероятность того, что он не выиграет, равна соответственно 0.9. [c.29] Других событий, кроме приведенных в этой таблице, произойти не может. Такая система событий называется полной. [c.30] Резонно поставить вопрос какой должна быть вероятность события, чтобы его наступление можно было считать достоверным Разумеется, ответ на этот вопрос носит в значительной мере субъективный характер и зависит главным образом от степени важности ожидаемого события. Поясним это двумя примерами. [c.30] Известно, что около 5% назначенных концертов отменяется. Несмотря на это, мы все же, взяв билет, обычно идем на концерт, будучи в общем уверены, что он состоится, хотя вероятность этого всего 0.95. Однако если бы в 5% полетов терпели аварию пассажирские самолеты, вряд ли мы стали бы пользоваться воздушным транспортом. Для того чтобы в условиях мирного времени без особой необходимости рисковать жизнью, по-видимому, нужно, чтобы вероятность смертельного исхода была бы не более 0.0001. Впрочем, различные люди, конечно, по-разному относятся к риску, но и самые осторожные легко пойдут на него при вероятности неблагоприятного исхода 10 или 10 . Приблизительно такова обычно вероятность оказаться жертвой транспортной катастрофы на улице большого города, но никто из-за этого не боится выходить из дома. [c.30] Таким образом, можно назвать практически достоверными события, вероятность которых отличается от единицы на 10 -10 , а практически невозможными те, вероятность которых меньше 10 -10-7. [c.30] При измерениях физических величин в тех случаях, когда основную роль играют случайные погрешности, все оценки точности измерения можно сделать только с некоторой вероятностью. Действительно, случайные погрешности образуются в результате совокупности ряда мелких неучитываемых причин, каждая из которых вносит незначительный вклад в общую погрешность. Следует считать, что часть из этих погрешностей положительна, часть — отрицательна. Общая погрешность, которая образуется в результате сложения таких элементарных погрешностей, может иметь различные значения, но каждому из них будет соответствовать, вообще говоря, разная вероятность. [c.31] Мы знаем, что при каждом взвешивании погрешность может быть как положительной, так и отрицательной, не превышая в обоих случаях 0.05 г. Естественно считать, что мы будем ошибаться одинаково часто как в сторону завышения, так и в сторону занижения массы, т.е, мы можем положить вероятность получить погрешность +0.05, равной вероятности получения погрешности -0.05. Тогда Р (+0.05) = Р(-0.05) = 1/2. [c.32] При этом мы считаем, что все отдельные погрешности отличаются только знаком и имеют по абсолютной величине максимально возможное значение 0.05. Такое допущение только завысит общую погрешность результата, что для нас сейчас несущественно. Пусть при измерении первого образца мы допустили погрешность, равную +0.05, вероятность чего, как уже говорилось, равна 1/2. Вероятность того, что и при измерении второго образца мы сделаем снова положительную погрешность, будет в соответствии с известным нам правилом умножения вероятностей равна (1/2) , т.е. 1/4. Наконец, вероятность при всех 100 измерениях сделать ошибку одного и того же знака будет (0.5) , или примерно 2-10 . Такая вероятность (в соответствии со сказанным выше) с любой практической точки зрения равна нулю. Таким образом, мы пришли к заклк -чению, что невозможно сделать погрешность в общей массе образцов в 5 г (0.05 100), ибо вероятность такой погрешности незначимо мало превышает нуль. Иначе говоря, действительная погрешность при таком способе взвешивания будет всегда меньше 5 г. Мы выбрали наиболее неблагоприятный случай - погрешность каждого взвешивания имеет наибольшее значение, и все погрешности оказались одного знака. Теория вероятностей дает возможность оценить,какова будет вероятность появления погрешностей других численных значений. Для этого введем сперва понятие средней квадратической, а также средней арифметической погрешностей. [c.32] Для того чтобы выявить случайную погрешность измерений, необходимо повторить измерение несколько раз. Если каждое измерение дает заметно отличные от других результаты, мы имеем депо с ситуацией, когда случайная погрешность играет существенную роль. [c.32] Вернуться к основной статье