ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Формула Гаусса и теорема Стокса из "Небесная механика Основные задачи и методы Изд.2 " Примечание. Функция U, которую мы здесь рассматривали, является функцией координат X, у, г притягиваемой точки Р, которая может быть также и притягивающей. Но параметры, определяющие положение и ориентацию тела в системе Охуг, здесь рассматриваются как постоянные. Когда функция U уже найдена, обычно бывает нетрудно выразить ее явным образом и через упомянутые параметры. [c.87] Однако общие свойства силовой функции взаимного притяжения материальной частицы (материальной точки) и произвольного трехмерного тела, рассматриваемой как функция девяти независимых переменных, совершенно не известны. [c.87] Можно только отметить, что функция U, рассматриваемая как функция трех независимых переменных — координат g, т], точки G, неизменно связанной с телом (центра приведения), также удовлетворяет уравнению Пуассона, если точка Р х, у, г) находится внутри тела и если, конечно, плотность тела б удовлетворяет условию Гольдера или более слабому условию, о котором шла речь выше. [c.87] Точно так же неизвестно, удовлетворяет ли силовая функция взаимного притяжения двух тел какому-либо уравнению, когда эти тела имеют некоторую общую часть. [c.87] Рассмотрим теперь некоторое трехмерное тело (с конечными размерами), плотность которого Ь М) непрерывна вместе со своими частными производными первого порядка, или, во всяком случае, удовлетворяет условию Гольдера. [c.88] Допустим, что некоторая область О пространства, ограниченная поверхностью 8, полностью содержит в себе это тело. Пусть, далее, и есть силовая функция притяжения телом Т материальной точки Р единичной массы. [c.88] Эта формула и называется формулой Гаусса. [c.89] Принцип максимума. Силовая функция трехмерного тела, рассматриваемая как функция координат притягиваемой точки, не может иметь минимума внутри притягивающей массы, но может иметь максимум. [c.89] Таким образом, первая часть высказанного свойства доказана. Что же касается второй части, то ее справедливость достаточно показать на каком-либо примере. Этот пример доставляет нам случай однородного шара, рассмотренный в 5, так как легко видеть, что в этом примере силовая функция имеет максимум в центре шара. [c.90] Принцип экстремума. Вне притягивающей массы силовая функция не может иметь ни максимума, ни минимума. [c.90] Это свойство силовой функции является следствием того, что вне притягивающей массы эта функция является гармонической ), но может быть также доказано непосредственно, совершенно так же, как и принцип максимума. [c.90] Полученное противоречие доказывает, что ни в одной внешней точке пространства силовая фуикция 1) не может иметь ни максимума, ни минимума. [c.90] Докажем теперь, что функция V тождественно равна нулю во ьсем пространстве, внешнем по отношению к поверхности 5. [c.92] Теорема Стокса. Если некоторая поверхность уровня заключает внутри себя всю притягивающую материю, то при всяком перераспределении этой материи, при котором величину ее массы остается неизменной, а поверхность остается поверхностью уровня, силовая функция притягивающей массы во внешнем относительно поверхности 5 пространстве также остается без изменения. [c.93] Иллюстрацией этой теоремы может служить силовая функция однородного шара, для которой поверхности уровня суть сферы, центр которых совпадает с центром шара. Если взять какую-либо из этих сфер, заключающую внутри себя шар, то при любом изменении размеров и плотности шара, при которых его масса остается неизменной, поверхность уровня остается той же сферой. Можно даже сосредоточить всю массу шара в его центре, т. е. превратить шар в материальную точку той же массы. [c.93] Это показывает, что если мы знаем силовую функцию вне поверхности уровня, то еще не можем сказать ничего определенного ни о форме притягивающего тела, ни о его внутреннем строении. [c.93] Такое уравнение, левую часть которого составляет выражение, именуемое оператором Лапласа, играет значительную роль в теории притяжения, а так как оно часто встречается и во многих других вопросах математического естествознания, то представляет интерес рассмотреть подробнее некоторые его свойства. [c.94] Далее нам придется пользоваться уравнением Лапласа, а также уравнением Пуассона, не только в декартовых, но и в некоторых других координатах, например, в цилиндрических, в полярных сферических и т. д. [c.94] По этой причине мы рассмотрим в этом параграфе, как преобразуется оператор Лапласа при переходе к другим координатам, причем займемся сначала наиболее общим преобразованием такого рода, из которого уже нетрудно будет вывести и различные частные случаи. [c.94] Для большей простоты и симметрии рассмотрим какую-либо функцию от трех независимых переменных Xi, Хг, Хз, являющихся тремя прямоугольными декартовыми координатами точки в пространстве. [c.94] Вернуться к основной статье