ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Свойства потенциала двойного слоя из "Небесная механика Основные задачи и методы Изд.2 " ЧТО совпадает с точностью до постоянного множителя с выражением нормальной производной потенциала простого слоя, лежащего на том же диске. [c.65] Следовательно, и конечный результат будет тот же, а именно, что функция W терпит разрыв первого рода, когда точка Р, перемещаясь по нормали к диску, пересекает его плоскость. [c.65] Мы придем к такому же результату и в общем случае, повторяя рассуждения, относящиеся к произвольному простому слою и используя рис. 8. [c.65] Тогда имеет место следующая доказанная Гауссом. [c.65] Теорема Гаусса. Потенциал двойного слоя посто янной плотности i, лежащего на гладкой замкнутой поверхности 5, равен нулю, когда точка Р лежит вне поверхности 5, равен 4я/ л, когда Р ле-житвнутри5, и равен 2л/ц, когдаРлежитна5. [c.65] Докажем сначала эту теорему чисто геометрическим путем. Пусть Р есть внутренняя точка (рис. 10). Вообразим сферу 2 единичного радиуса с центром в Р и обозначим через о элемент поверхности этой сферы. Построим затем бесконечно тонкий конус с вершиной в Р, направляющей которого служит контур элемента на сфере Е. Площадь куска поверхности 5, вырезаемого этим конусом, обозначим через йо и примем за эле- мент поверхности 5. [c.65] как легко видеть, в точках 51 угол ф тупой, а в точках 5з угол ф — острый. Так как каждый из двух интегралов численно равен телесному углу, под которым из точки Р видна вся поверхность 5, то оба слагаемых в выражении для будут равны по величине и противоположны по знаку, а поэтому интеграл, взятый по всей поверхности 5, равен нулю. [c.66] Поэтому интеграл равен в этом случае тому телесному углу, под которым из точки Р поверхности видна вся эта поверхность S. Так как, по условию, поверхность S гладкая, то в точке Р существует определенная касательная плоскость и, следовательно, упомянутый телесный угол равен 2л, а значит, W P)=2nf. i. [c.67] Нетрудно рассмотреть таким же образом и случаи, когда поверхность S не является выпуклой относительно внутренней точки или когда некоторые прямые, проходящие через внешнюю точку, встречают поверхность более чем в двух точках. [c.67] Мы не будем рассматривать эти случаи, так как они включаются в другое доказательство теоремы Г аусса, которое можно назвать аналитическим и к которому мы сейчас переходим. [c.67] Вернуться к основной статье