ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Притяжение материальной точки материальным телом из "Небесная механика Основные задачи и методы Изд.2 " До сих пор мы рассматривали силу притяжения, с которой система конечного числа изолированных материальных точек действует на материальную точку единичной массы. Теперь мы будем рассматривать более сложные случаи, когда притягивающая материальная система состоит из бесчисленного множества материальных частиц (материальных точек), т. е. представляет собой непрерывно протяженное материальное тело. [c.19] Отнесем тело Т к некоторой декартовой системе прямоугольных координат Oxyz с началом в произвольно выбранной точке О и с неизменными направлениями осей. Эта система координат может быть, в частности, неизменно связана с телом, но в общем случае остается совершенно произвольной. [c.19] Пусть М х, у, z ) есть какая-либо точка, принадлежащая области D или ее границе и составляющая, таким образом, часть тела Т. Обозначим через 6(Л1)=б(л , у, z ) пространственную плотность материи, образующей рассматриваемое тело, в точке М. Если тело однородно, то б = onst, а вообще 6(Л1) есть некоторая функция точки М, определенная в области D и на ее границе, где по своему смыслу она неотрицательна и однозначна. Мы будем предполагать, сверх того, что функция 6(Л1) интегрируема в области D, или даже, что она непрерывна в этой области. [c.19] г) есть любая точка пространства, в которой помещена материальная. точка единичной массы. Наша задача заключается теперь в определении величины и направления силы притяжения, с которой данное материальное тело действует на материальную точку Р или, иначе говоря, в определении силового поля, вызываемого (или возбуждаемого) наличием тела. [c.19] Чтобы определить силу притяжения тела Т на точку Р, нужно применить обычный прием интегрального исчисления, разбивая мысленно область D на весьма большое число весьма малых областей, любую из которых будем называть элементарной областью или элементарным объемом. [c.19] Такое разбиение можно произвести, очевидно, бесчисленным множеством способов, например, воображая три семейства плоскостей соответственно параллельных координатным плоскостям. Тогда элементарные области будут прямоугольными параллелепипедами с ребрами, параллельными координатным осям. [c.20] Заметим, что если элементарными областями являются параллелепипеды, то х=йх с1у с1г. [c.20] Заменяя каждый элементарный объем подобной же материальной точкой, мы получим систему конечного (но очень большого ) числа фиксированных материальных точек, каждая из которых притягивает точку Р. Проекции равнодействующей всех сил притяжения, действующих на точку Р, согласно 3 будут суммами весьма большого числа слагаемых такого же вида. [c.20] Переходя затем к пределу в предположении, что число элементарных областей неограниченно возрастает, а объем каждой элементарной области неограниченно уменьшается, согласно принципам интегрального исчисления мы перейдем от конечных сумм к определенным интегралам, взятым по всей области В. [c.20] Тройные интегралы в этих формулах распространены на всю область D, занимаемую притягивающей материей, и для их вычисления необходимо знать форму тела Т и его положение в системе Oxyz. Координаты притягиваемой точки Р остаются постоянными в процессе интегрирования, а поэтому составляющие силы притяжения суть некоторые функции точки Р. [c.21] Предположим сначала, что точка Р является внешней для тела Т, т. е. не составляет часть его массы. [c.21] допустим, что область О конечна и что функция б(Л1) непрерывна всюду в области О. Тогда подынтегральная функция в формуле (1.15) непрерывна всюду (по условию Д не обращается в нуль нигде в области О) в области интегрирования и интеграл является собственным. [c.21] Следует отметить, что справедливость формул (1.16) и (1.16 ) установлена пока только для случая, когда точка Р является внешней точкой для тела Т. Но в следующей главе дополнительно будет доказано, что эти формулы остаются справедливыми и для того случая, когда точка Р находится внутри тела, так что эти формулы пригодны во всем пространстве. [c.22] функция и полностью определяет величину и направление силы притяжения, действующей на точку Р и вызываемой присутствием тела Т. [c.22] Поэтому будем называть функцию U, так же как и в предыдущих параграфах, силовой функцией тела Т, или функцией сил, или (хотя и не совсем правильно ) гравитационным потенциалом тела Т, или, просто, потенциалом тела. [c.22] Действительно, внутреннее строение тела определяется заданием функции 0(л , у, z ), явно входящей под знак интеграла, а форма и положение тела определяют область интегрирования D, т. е., в конечном счете, значения пределов определенного интеграла в формулах (1.14) и (1.15). [c.22] Положение и ориентация тела относительно осей координат могут быть определены заданием координат какой-либо выбранной точки тела и тремя эйлеровыми углами, определяющими ориентацию собственной системы осей, неизменно связанных с телом, с началом в упомянутой точке. Поэтому и функция и и составляющие силы притяжения X, У, Z, являясь функциями от координат х, у, z точки Р, зависят еще, вообще, от шести параметров, определяющих положение и ориентацию тела в системе координат Oxyz. [c.22] Заметим, что за упомянутые параметры можно взять (но не обязательно ) координаты центра инерции тела и эйлеровы углы главных центральных осей инерции. [c.22] Для конкретного определения силового поля, возбуждаемого телом Т, нужно вычислить или три интеграла (1.14) или один-единственный интеграл (1.15). Если бы эти интегралы всегда вычислялись в конечном (и притом удобном для пользования) виде, то все было бы очень просто, и области науки, называемой теорией притяжения или теорией потенциала, заведомо не существовало бы. [c.23] Но интегралы (1.14) и (1.15) вычисляются в элементарных функциях только в некоторых исключительных случаях, а вообще оказываются совершенно невычисляемыми. Поэтому возникает необходимость изучения свойств и характера функции, определяемой таким невычисляемым интегралом, а также разработки методов, дающих ее приближенное выражение и способов для ее вычисления. [c.23] Вернуться к основной статье