ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Постановка задачи. Общие уравнения движения из "Небесная механика Аналитические и качественные методыИзд.2 " Заметим еще, что для естественных (или искусственных) тел природы абсолютное твердое тело является также только м о-д е л ь ю, представляющей собой следующий шаг на пути приближения к действительности. Следующим за этим шагом являлось бы рассмотрение нетвердых тел, например, идеально жидких, но построение такой теории пока еще далеко от осуществления и мы ее затрагивать вовсе не будем. [c.399] Предположим, что каждая элементарная частица dnii тела Ti, сосредоточенная в точке Aij, находится под действием силы, источником которой является элементарная частица dm-j тела Tj, сосредоточенная в точке Mj (г, j = О, I, 2,. .., п, j = i). [c.399] будем предполагать, что эта сила всегда направлена по прямой, проходящей через точки Mi и Mj и пропорциональна произведению масс частиц diTiidnij и некоторой функции Fij от времени t, взаимного расстояния Aij = MiMj, а также вообще от двух первых его производных и Ац. Постоянный, или зависящий от времени, множитель пропорциональности мы включим для упрощения в функцию, определяющую закон силы. [c.399] Выберем каким-либо образом декартову систему координат с началом в фиксированной точке О и с неизменными направлениями осей. Пусть 51, г г, обозначают абсолютные координаты точки М,- тела Г,- в этой системе координат. [c.400] например, тело есть шар или шаровой слой, то за точку Ог удобнее всего взять центр шара (шарового слоя). Если шар или слой однороден или обладает сферической структурой, то точка О - в этом случае будет также и центром масс тела 7,-. Но если шар неоднороден и структура его не обладает сферической симметрией, то центр шара не будет его центром масс и точка О,- будет только одним из возможных центров приведения. [c.400] Все интегралы в формулах (9.3) и (9.4) являются функциями от координат точек 0 , а также от их производных первого и второго порядка. Эти интегралы могут также содержать явно время /, если последнее входит в законы сил. [c.402] Эти девять направляющих косинусов (для каждого тела Г ) выражаются, как известно, через три независимых угла, за которые мы примем здесь опять углы Эйлера угол прецессии 1 ) , угол нутации 10, и угол собственного вращения ф . [c.402] В выражения, стоящие под знаками кратных интегралов в формулах (9.3) и (9.4), координаты центров приведения Gi и Oi и эйлеровы углы двух собственных систем координат [piX y. z ) и (G x y jz j) входят непосредственно и через взаимные расстояния по формулам (9.1), (9.5) и (9.6). [c.403] Кроме того, так как функции Рц вообще могут зависеть от времени и от производных и Aj , то подынтегральные выражения будут также содержать первые и вторые производные от координат и эйлеровых углов обоих тел. [c.403] Таким образом, каждый интеграл в (9.3) и (9.4) является функцией 37 параметров, которые при вычислении интегралов рассматриваются как величины постоянные. Надо также иметь в виду, что указанные интегралы зависят еще от характеристических постоянных, определяющих формы тел и их внутренние строения. [c.403] Такими характеристическими постоянными являются массы тел, координаты точек G и Gj, моменты инерции различных порядков и геометрические характеристики внешних поверхностей. [c.403] Координаты текущих точек Mi и Mj являются переменными интегрирования, и если тело Т имеет три измерения, то для него координаты х, у, z являются независимыми. Если же тело Т есть материальная поверхность или материальная линия, то координаты точки М связаны одним, соответственно двумя уравнениями и могут быть выражены через две независимые поверхностные координаты или через одну независимую линейную. [c.403] Эти величины, так же как и величины (9.3), являются функциями времени и 18 величин, изменяющихся с течением времени при поступательно-вращательном движении тела 7 . [c.404] Уравнения (9.8) — (9.10) образуют полную систему 6( 4-1) уравнений второго порядка с таким же числом неизвестных. Этими неизвестными являются координаты центров приведений и эйлеровы углы п 1 тел. Но уравнения вообще не разрешены относительно вторых производных от этих неизвестных функций, а поэтому определение всех 6(/г- -1) неизвестных как функций времени и надлежащего числа произвольных постоянных, число которых должно быть равно общему порядку системы, т. е. 12(л- -1), представляет аналитически неразрешимую задачу. [c.404] Простейший случай представится тогда, когда функции Гц зависят только от взаимных расстояний, как это имеет место, например, когда система управляется одним законом Ньютона. [c.405] 0 через координаты точек эйлеровы углы и их первые производные. [c.406] Поэтому полезно отметить по крайней мере один случай, когда эти уравнения настолько упрощаются, что иногда их возможно даже проинтегрировать до конца. [c.406] При рассмотрении этого случая предположим для большей простоты, что центр приведения G, тела Г,- совпадает с его центром масс, а собственные оси тела совпадают с главными осями инерции этого тела. [c.406] Уравнения (9.15) полностью совпадают с уравнениями (8.2 ), которые описывают движение системы п + 1 материальных точек, взаимодействующих взаимно по закону Гука (8.4 ). Таким образом, система п - - 1 совершенно произвольных по форме и структуре неизменяемых твердых тел, материальные частицы которых также взаимодействуют по закону Гука, движется так, как если бы масса каждого тела была сконцентрирована в его центре масс. При этом уравнения (9.15) совершенно не зависят от уравнений (9.16), т. е. поступательные и вращательные движения тел вовсе не зависят друг от друга. [c.407] Кроме того, уравнения (9.16) показывают, что каждое из тел Ti вращается независимо друг от друга по законам Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки при отсутствии внешних сил. [c.407] Вернуться к основной статье