ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача об устойчивости лагранжевых решений из "Небесная механика Аналитические и качественные методыИзд.2 " Во второй части этой книги рассматривалась ограниченная задача трех тел-точек, общая относительно законов взаимодействий активных точек с пассивной. [c.372] В этой части мы рассматриваем неограниченные задачи, когда все тела-точки являются активно действующими и законы взаимодействий предполагаются, вообще говоря, наиболее общими. [c.372] В задаче трех тел-точек были обнаружены частные решения, аналогичные либрационным решениям ограниченной задачи, и теперь естественно перейти к рассмотрению вопроса об устойчивости этих частных решений в смысле Ляпунова. [c.372] Однако при самых общих предположениях относительно действующих сил эта задача, несомненно, весьма трудна, а поэтому мы ограничимся рассмотрением частного случая, когда все действующие силы одинаковы по своему характеру и зависят только от взаимного расстояния между точками. [c.372] Такая задача была поставлена еще Лапласом, который заметил, что лагранжевы и эйлеровы решения существуют также при произвольном законе притяжения. [c.372] Задача об устойчивости постоянного лагранжева решения для случая притяжения, пропорционального какой-либо степени расстояния, была рассмотрена в первом приближении Раусом еще в 1875 г. [c.372] Для случая, когда взаимодействие определяется единым законом, зависящим только от расстояния, задачу об устойчивости лагранжева решения рассмотрел в 1889 г. А. М. Ляпунов, причем не только для случая постоянного движения, в котором точки М и AI2 описывают окружности с центром в Мо, но и для более общего случая, когда невозмущенное движение оказывается непостоянным, а именно периодическим, как это имеет, например, место в случае закона Ньютона, когда точки Mi и Мг описывают эллипсы с фокусом в точке Mq. [c.372] Постоянные п Н. характеризуют движение, соответствующее частному решению ( ). [c.374] Но движение может быть периодическим и при других законах, отличных от ньютоновского. [c.375] В этом случае треугольник МоМ М2) остается неизменным. [c.375] Рассматривая какое-либо из треугольных лагранжевых движений как невозмущенное, составим прежде всего дифференциальные уравнения возмущенного движения. [c.375] Сделаем эту подстановку, разлагая нелинейные члены полученных уравнений в ряды по степеням бесконечно малых возмущений (8.66 ). [c.375] Уравнения (8.73), (8.74) и (8.75) годятся также и для случая ограниченной задачи трех тел. В последнем случае нужно только положить m2 = О, вследствие чего уравнения (8.74) несколько упрощаются, так как коэффициент при линейных членах этих уравнений обращается в нуль. [c.378] Отсюда ВИДНО, что И1 и иг всегда остаются бесконечно малыми одного порядка со своими начальными значениями, если р никогда не обращается в нуль, что мы и будем впредь предполагать. [c.379] Таким образом, треугольное лагранжево решение оказывается устойчивым относительно величин Ш и сог (по крайней мере в первом приближении ) и плоскость треугольника, образованного тремя точками Mi, всегда остается близкой к плоскости, образованной этими точками в начальный момент времени. [c.379] Поэтому остается рассмотреть только четыре уравнения, представляющие первое приближение уравнений (8.53) и (8.54). Эту последнюю задачу Ляпунов приводит весьма искусным приемом к рассмотрению только двух уравнений, образующих систему четвертого порядка. [c.379] В самом деле, покажем, следуя Ляпунову, что если известны функции X и I/, удовлетворяющие уравнениям первого приближения системы (8.73), то функции т , удовлетворяющие уравнениям первого приближения системы (8.74), найдутся при помощи квадратур и дифференцирований. [c.379] Притом, если мы положим здесь = т) = О, то это будет только равносильно предположению, что вместо первоначального невозмущенного лагранжева движения берется для сравнения с возмущенным некоторое другое, тоже лагранжево, в котором постоянные дик бесконечно мало отличаются от своих прежних значений ). [c.381] Таким образом, наша задача об устойчивости приводится к задаче об устойчивости нулевого решения системы (8.86 ). [c.382] Величина и может быть постоянной в двух случаях во-первых, для всякой функции Р р) (т. е. для всякого закона притяжения, включая, конечно, и закон Ньютона), если рассматриваемое невозмущенное лагранжево движение есть постоянное (р и (О постоянны) во-вторых, для всякого лагранжева движения, но при некотором определенном типе функции Р р). [c.383] Вернуться к основной статье