ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ЗАДАЧИ Общая задача многих тел из "Небесная механика Аналитические и качественные методыИзд.2 " Рассмотрим теперь определение угловой координаты и выявим некоторые характерные свойства траекторий, вьющихся в непосредственной окрестности окружности радиуса а. [c.327] Коэффициенты Ьи зависят от с, а и а, но так как с связано с а уравнением (7.200, то все Ьи зависят только от а и 0, являясь голоморфными функциями а при численно достаточно ма лых значениях последнего. [c.328] Но в момент to Т координаты р = а + д и z принимают свои начальные значения ро = а + Хо и Zo (для случая X == т, 2о = 0), а v to- Т)= Vo2пЬо. Поэтому, так как feo, вообще говоря, есть число иррациональное, то траектория не замыкается и движение точки Р, соответствующее какому-либо из двух периодических решений системы (7,25), само не является периодическим. [c.329] Только в исключительном случае, когда величина 6о1 окажется равной рациональному числу вида pjq р а q — целые положительные числа), движение также будет периодическим. Действительно, в этом случае, при изменении t на qT, долгота v получит приращение, равное 2nq, а р и г не изменятся. Движение будет периодическим с периодом qT, и траектория точки Р замкнется после р оборотов. [c.329] Так как при малых значениях о знак ряда определяется знаком первого его члена, то при а О функция р имеет максимумы для т = о, 2л,. .. и минимумы для т = л, Зл,. .. Если а О, то картина будет обратная. [c.330] Но ро = а + а есть начальное значение величины р. Таким образом, если а О, то р не может сделаться больше своего начального значения, а если а О, то р не может сделаться меньше своего начального значения. [c.330] Направления на перицентры и апоцентры определяются значениями угла V, соответствующими значениям величины т, кратным 2я и я. Поэтому разность значений V, соответствующих двум последовательным перицентрам (апоцентрам), дает смещение перицентра орбиты (апоцентра) за один оборот, т. е. за время Т. [c.331] Траектория движущейся точки Р в этом случае есть пространственная кривая, лежащая, очевидно, на некоторой поверхности вращения вокруг оси Ог, уравнение которой получим, исключая т из двух уравнений (7.72), которые представляют уравнения меридианного сечения этой поверхности. Так как вид поверхности вращения вполне определяется этим сечением, то нам остается только исследовать кривую, лежащую в плоскости, проходящей через ось Ог и параметрические уравнения которой суть уравнения (7.72). [c.331] 74 ) усматриваем, что если а = 2о О, то значения т = О, 2я,. .. дают максимумы, а значения т = я, Зя,. .. — минимумы функции г. Заключение будет обратным, если а 0. [c.332] Отсюда следует, что поверхность вращения заключена в области, ограниченной двумя плоскостями, перпендикулярными оси вращения и отстоящими от начала координат на расстоянии, равном а = го. Так как траектория точки Р лежит на упомянутой поверхности, то она не может выйти за пределы указанной области. [c.332] Далее формула (7.74) дает при т = О, я,. .. [c.332] Поэтому, если Лз О, то при т = 0, л,. .. мы пмеем минимумы функции р, а прн х = ,. .. имеем максимумы. [c.333] При ЛР О картина будет обратная. [c.333] Заметим, что при О минимумы р имеют место одпо-врсменпо с минимумами и максимумами функции 2 и что при значениях т, дающих максимумы р, функция 2 обращается в нуль. Наоборот, если О, то максимумы р имеют место одновременно с максимумами и минимумами г, а при значениях т, дающих минимумы р, имеем 2 = 0. [c.333] Из приведенного анализа делается ясной форма дуги меридианного сечения поверхности. [c.333] Эта дуга симметрична относительно прямой, перпендикулярной оси вращения, вогнута к началу координат, если мы имеем 2 О, И выпукла к началу, если Л 0. Так как постоянная Ьо есть вообще число иррациональное, то траектория точки Р вьется бесконечно вокруг оси симметрии, заполняя всюду плотно пояс поверхности, образованный вращением этой дуги. [c.333] При этом траектория касается по очереди то нижней, то верхней границы пояса, каковыми являются две окружности, получающиеся прн пересечении поверхности вращения с плоскостями 2 = 2о. [c.333] В том исключительном случае, когда Ьо оказывается числом рациональным, траектория точки Р, аналогично плоскому случаю, есть замкнутая кривая, лежащая на упомянутой поверхности вращения, замыкающаяся после конечного числа оборотов. Как уже было отмечено, в этом н только в этом случае движение точки Р будет чисто периодическим. [c.333] Однако отсюда вовсе не следует, что задача Фату не имеет вооб1де никаких других периодических (или почти периодических) решений, которые могли бы быть найдены при помо1дн других методов. [c.334] Действительно, рассмотрим опять общ,ие уравнения задачи Фату (7.1), где и(х, у, г)—силовая функция, которая в самом обш,ем случае может быть представлена в виде суммы двух разложений типа (7.3) и (7.3 ). [c.334] Вернуться к основной статье