ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Периодические решения задачи Фату из "Небесная механика Аналитические и качественные методыИзд.2 " Но уравнения (7.32 ) имеют вдобавок голоморфный интеграл, наинизшие члены разложения которого образуют знакоопределенную квадратичную форму. Поэтому, если ни одно из отношений min, njm не представляет целого числа, то по теореме Ляпунова о периодических решениях система (7.32 ) также будет иметь два периодических решения, каждое с двумя произвольными постоянными. [c.317] Каждое из этих периодических решений представится в виде рядов, расположенных по возрастающим степеням некоторой произвольной постоянной, коэффициентами которых являются конечные ряды синусов и косинусов некоторой переменной, пропорциональной времени. [c.317] Как следует из теоремы Ляпунова, нами только что упомянутой, ряды эти будут абсолютно сходящимися при всех значениях времени, пока модуль постоянной (по степеням которой эти ряды расположены) не превосходит некоторого, отличного от нуля предела. [c.317] Для составления указанных рядов мы применим метод Ляпунова непосредственно к системе уравнений второго порядка (7.25), как это уже было сделано один раз при нахождении периодических решений вблизи точек либрации. [c.317] Поэтому из уравнений (7.42) мы определим следующую пару функций Xft, Zh, выбирая следующую постоянную hh-i так, чтобы эти функции также вышли периодическими с периодом 2я. [c.320] Так как (на основании теоремы Ляпунова) нам известно заранее, что периодические решения рассматриваемого типа существуют, то процесс определения коэффициентов рядов (7.36 ) и (7.35) можно продолжать сколь угодно далеко, п мы можем получить искомое периодическое решение с какой угодно степенью точности. [c.320] Действительно, по теореме Ляпунова каждое периодическое решение рассматриваемого типа должно содержать две произвольные постоянные, одна из которых о, а другая (несущественная)— начальный момент to. [c.320] Переходя теперь к фактическому определению функций д , Zh, мы должны различать два случая, так как X обозначает здесь или т, или п. [c.320] Величины m и и по формулам (7.29 ) зависят только от радиуса а исходной круговой орбиты (невозмущенного движения), а стало быть, каждое из отношений п/т и min будет функцией от а. Для нахождения периодических решений, существование которых обусловливается теоремой Ляпунова, мы должны исключить из рассмотрения такие орбиты (если они существуют), для которых хотя бы одно из этих отношений есть целое число. [c.320] Тогда легко видеть, что на тех же основаниях мы будем иметь 22 = О, 2з = О,. .. Но если все функции z , для которых S . k, суть нули, то по свойству функций Zft мы будем иметь Zft S О, а следовательно, уравнение, определяющее Zk, имеет такой же вид, как и (7.43), и мы найдем 2 = 0. [c.320] Это простое свойство исследуемого периодического решения можно доказать, пользуясь методом полной индукции. [c.325] Такой же вид, разумеется, будет иметь и функция Zs+i. [c.326] Для того чтобы это уравнение имело периодическое решение, должно быть hs = О s нечетное). Если же hs — нуль, то единственное периодическое решение уравнения (7.6Г), удовлетворяющее условиям (7.53), есть нуль. [c.326] Но мы уже показали непосредственным вычислением, что Ху = xz = О, 22 = Z4 = о, /1з - 0. Следовательно, указанное свойство доказано полностью. [c.326] Так как функция Xs+i однородна относительно нижних индексов всех своих аргументов и s + 1 — число четное, то после подстановки вместо Хг, Zi найденных уже их значений Jj+i представится в виде тригонометрического многочлена порядка s + 1, расположенного по косинусам четных кратных аргумента т. Такой же вид будет иметь и частное периодическое решение последнего уравнения. [c.326] В отличие от периодического реиления, соответствующего случаю К = т, которое мы назвали плоским, решение, определяемое формулами (7.63), мы будем называть пространственным периодическим решением. [c.327] Вернуться к основной статье