ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Доказательство сходимости рядов Ляпунова из "Небесная механика Аналитические и качественные методыИзд.2 " Таким образом, зная, что р и ду определяются выражениями вида (6.47), мы можем быть уверены, что того же вида выражения получатся и для всех остальных pj и При этом, зная й], I и 01, 1, мы можем вычислять все остальные коэффициенты по формулам (6.49 ) и (6.49 ), которые дают все а , а, соответствующие какому-либо г, когда известны все 8, для которых С г. [c.289] Возвращаясь теперь от переменных р и к переменным и и V, а затем к переменным х и г/, мы найдем также периодические ряды, расположенные по степеням параметра %, удовлетворяющие уравнениям (6.26 ), а полагая, наконец, К — т , получим нужное нам решение уравнений Хилла (6.26). [c.289] Все эти ряды будут сходящимися, если сходятся ряды (6.50), а поэтому главной нашей задачей будет теперь доказательство сходимости этих последних рядов. [c.289] Рассмотрим сначала некоторые вспомогательные предложения, которые будут использованы далее при построении усиливающего ряда. Сначала докажем следующую лемму. [c.290] Но по условию р М и, следовательно, не превосходит меньшего (положительного) корня уравнения (6.51), т.е. [c.290] Правую часть этого неравенства можно сделать не зависящей от а. Действительно, для любого а мы имеем /ni 1, но притом lim щ — I. [c.291] Обозначая через т меньший корень этого уравнения, имеем т = 1 - = 0,4226497. [c.292] Заметим, что определяемые таким путем величины аг,а все будут возрастающими функциями от М, пока М не превосходит некоторого предела. Так, например, это, очевидно, будет иметь место, пока М С2, так как при этом условии выражение 6 — 4М - -АР будет убывающей функцией от М. [c.294] Умножая обе части равенства (6.58 ) на V и суммируя по г от 1 до бесконечности, мы получим, принимая во внимание (6.57 ). [c.295] Таким образом, Л (Я,) представляет действительно разложение корня этого уравнения, обращающегося в нуль при Я, = 0. [c.295] Следовательно, прн том же условии (6.62) будет заведомо сходиться также ряд (6,58), представляющий разложение усиливающей функции А .). [c.296] Условие (6.62) представляет собой неравенство относительно величин М и Я. В силу сделанных оценок и вспомогательных предложений, доказанных в разделе 1, которые справедливы для любых комплексных значении т (если только т М), ряды (6.50) будут сходиться абсолютно и равномерно для всех т М, когда Ми/, удовлетворяют неравенству (6.62). [c.296] Обращаемся теперь к выражениям е и /г, которые даются формулами (6.59 ), и полагаем L = М . [c.296] Тогда мы получим ряды, удовлетворяющие уравнениям (6.32) при X = т. е. получим то решение задачи, которое нашел сам Хилл. Однако Хилл не дал доказательства сходимости полученных им рядо-в. [c.296] Полагая L = М , мы сделаем е и /г функциями одного только М, и возникает вопрос о наибольшем значении М, при котором ряд (6.58) остается сходящимся (будучи, конечно, сходящимся и для всякого меньшего М). Покажем, что /у еще не достигает этого предела. [c.296] Заменяя ряды (6.50) суммами некоторого конечного числа первых их членов, мы сделаем ошибку, которая не превзойдет, очевидно, по числовой величине суммы соответствующих членов усиливающего ряда, определяемого уравнением (6.60) и, тем более, уравнением (6.61). Но так как оценки, сделанные нами для доказательства сходимости, довольно грубые, то эти две суммы могут сильно отличаться друг от друга. [c.297] Поэтому Ляпунов строит еще один усиливающий ряд, который дает возможность получить более точный высший предел погрешности, о которой идет речь. [c.297] Но этот же ряд можно использовать, как отмечает в цитированной уже работе Г. А. Мерман, для нахождения новой нижней границы для радиуса сходимости рядов (6.50). [c.298] Изложим результаты, полученные Г. А. Мерманом. Итак, будем искать точный радиус сходимости ряда г(6), расположенного по целым положительным степеням 6 и удовлетворяющего уравнению (6.67). [c.298] Вернуться к основной статье