ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Постановка задачи и уравнения движения из "Небесная механика Аналитические и качественные методыИзд.2 " Мы предпочитаем трактовать ограниченную задачу трех тел как частный случай общей задачи, а поэтому поставим сначала общую задачу трех материальных точек и выпишем соответствующие уравнения движения. [c.210] Не рассматривая здесь вопроса о существовании первых интегралов системы (5.2) (что будет предметом общего рассмотрения в третьей части книги), заметим, что всегда возможно перейти от абсолютных координат к относительным, выбирая какую-либо из трех точек за начало новой системы координат. [c.212] Заметим еще, что для сокращения мы включили множители пропорциональности ц в функции так что в уравнениях (5.4) Рц обозначает произведение iiPij из уравнений (5.2). [c.213] Эти уравнения, в которых координаты точки М н их производные определяются уравнениями (5.5) и поэтому должны рассматриваться как известные функции времени, и являются уравнениями общей (или обобщенной) ограниченной задачи трех тел (трех материальных точек). Отметим при этом, что масса пассивной точки М2 не входит в эти уравнения и может быть какой угодно. Просто эта масса не оказывает никакого действия на две другие массы. Можно считать, так же как это делается часто в математических классических ис-следова-ниях, что /П2 равна нулю, и в результате такого предположения мы получим те же самые уравнения (5.6). В астрономических задачах масса тг оказывается чрезвычайно малой по сравнению с массами то и т. Поэтому действие малой массы по закону Ньютона достаточно мало и этим малым действием в ряде случаев можно, оказывается, пренебречь, так что в задаче масса тг как бы не существует или как бы не действует. Таким образом, к ограниченной задаче можно подойти двумя путями или считая, что точка М2 имеет массу, равную нулю (ее часто так и называют нулевая масса ), или считая, как это делаем мы, что масса шг не равна нулю, но не действует на две другие, что и отмечается здесь в ее названии — пассивно действующая, или просто пассивная масса. Математическая задача, т. е. задача об исследовании и решении уравнений (5.6), не зависит от ее астрономической постановки, но, с одной стороны, странно говорить о движении нулевой массы, т. е. о движении чего-то, что в действительности не существует, а, с другой стороны, может показаться нереальным предположение о том, что конечная масса никак себя не обнаруживает, хотя ее движение может быть наблюдаемо (например, движение космической ракеты ). Все дело в том, что и в том, и в другом случае задача является приближенной, и систе.ма трех материальных точек, и в случае общей задачи и в случае ограниченной, представляет собой только абстрактную модель действительно существующих в природе систем небесных тел. [c.214] Эти уравнения имеют такую же форму, как и уравнения (4.21) 2 главы IV задачи одного неподвижного центра, если положить в них fin = 1. [c.215] Поэтому, прилагая к уравнениям (5.7) уже известные результаты, мы можем заключить, что точка М движется относительно точки Мо по плоской траектории с сохранением интеграла площадей. Вид, форма и свойства этой траектории зависят, конечно, от функции F, т. е. от законов действующих сил и, конечно, от начальных условий, которые также всегда будем считать заданными. [c.215] В классической ограниченной задаче траектория точки М может быть, в зависимости от начальных условий, гиперболой, параболой, эллипсом, окружностью или даже прямой линией. [c.215] Но случаи, когда орбита точки Mi является гиперболой, параболой или прямой линией, насколько нам известно, никогда не рассматривались, и в учебниках о них обычно не упоминается. [c.215] Поэтому в классической задаче рассматриваются только два случая, а именно, эллиптическая ограниченная задача и круговая ограниченная задача, причем последняя изучена более детально, чем первая, и полученные в ней результаты многократно применялись (и Применяются в настоящее время) в конкретных астрономических задачах. [c.215] В общем случае, когда движение точки М описывается уравнениями (5.7), вид траектории может быть самым разнообразным и орбита может быть замкнутой или незамкнутой, расположенной в конечной области пространства или имеющей бесконечные ветви и т. д. [c.215] В этом случае первое из уравнений (5.8) удовлетворяется тождественно при г = а и, следовательно, орбита точки Mi есть окружность радиуса а с центром в точке Мо. [c.216] Заметим еще, что круговая задача всегда будет возможна, если функция F не зависит от вре.мени t и при всех или по крайней мере при некоторых значениях переменных сохраняет положительные значения. [c.216] В этом же случае (т. е. когда F не зависит от времени) и когда задача не является ни прямолинейной, ни круговой, радиус-вектор точки Ml, как было отменено выше ( 2 главы IV), может быть выражен в функции полярного угла v. [c.216] Из уравнений (5.9) видно также, что при произвольно заданных функциях (5.9 ) третье из уравнений удовлетворяется при 22 = 0. Тогда задача сводится к рассмотрению двух первых уравнений (5.9), показывающих, что пассивная точка в этом случае движется в плоскости (хОу). Такая задача называется плоской ограниченной задачей, а в частных случаях, когда траектория точки М есть прямая линия или окружность, — плоской прямолинейной ограниченной задачей и плоской круговой ограниченной задачей. [c.217] В классической ограниченной задаче, когда все законы действующих сил оказываются законами притяжения Ньютона, имеем соответственно случаи плоской гиперболической, параболической и эллиптической задачи. [c.217] Исследование уравнений движения в ограниченной задаче трех тел делается более удобным, если перейти от системы осей неизменного направления к вращающейся системе координат, совершенно так же, как это и производится всегда в классическом случае. [c.217] Заметим, что функция F20 не зависит от угла ф, а только от р, 2 и вообще от их производных первого и второго порядка. Функция F21 зависит от р, 2, ф и их производных, а величина foi гсть известная функция времени. [c.219] Уравнения движения в плоской круговой ограниченной задаче получатся непосредственно из (5.15) и (5.16) отбрасыванием уравнений для г. [c.220] Вернуться к основной статье