ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые частные случаи задачи неподвижных центров из "Небесная механика Аналитические и качественные методыИзд.2 " Рассмотрим теперь некоторые примеры задачи одного неподвижного центра, ограничиваясь простейшими случаями, когда задача оказывается так или иначе разрешимой. [c.197] Пусть сначала функция Р определяется формулой типа (4.4 ), т. е. [c.197] При N = —3, —5, - -7 интеграл будет опять эллиптическим относительно переменной и задача опять будет разрешима в эллиптических функциях. [c.198] Непосредственное вычисление интеграла в уравнении (4.33) мы предоставляем учащимся в качестве упражнения. [c.198] Мы снова приходим к эллиптическому интегралу, а поэтому ы, а следовательно, и г выражаются через эллиптические функции. [c.198] Непосредственное приведение эллиптических интегралов в рассмотренных выше задачах, а затем их обращение удобно производить при помощи широко известных таблиц И. С. Г р а д-штейна и И. М. Рыжика (Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, изд. 4-е, Физматгиз, 1962). [c.198] После нахождения и, или г, мы должны затем установить связь между полярным углом ф и временем ( при помощи уравнения (4.25 ), что обычно не удается сделать в конечном виде даже при помощи эллиптических функций. [c.198] Поэтому здесь приходится прибегать всегда к бесконечным рядам. Пример такого представления дает даже простейшая задача двух тел (материальных точек). [c.199] Мещерский впервые показал, что в некоторых случаях уравнения (4.34) путем преобразования зависимых и независимой переменных возможно привести к уравнениям, правые части которых не будут содержать независимой переменной и, кроме того, могут быть проинтегрированы до конца в элементарных или в эллиптических функциях. [c.199] Теперь постараемся выбрать функции и а так, чтобы в правые части равенств (4.35) не входило t. [c.199] Заметим, что И. В. Мещерский доказывает (Работы по механике тел переменной массы, Гостехиздат, 1949), что случай (4.37) является единственным, когда уравнения (4.34) могут быть приведены к виду (4.38). [c.201] Однако этот случай вовсе не является единственным, когда уравнения вида (4.34) могут быть приведены к уравнениям, отличным от (4.38), но оказывающимися все же интегрируемыми. [c.201] Заметим, что законы И. В. Мещерского получаются из уравнения (4.39) при л = 2и = 3и окончательное решение получается только в элементарных функциях, если а = О (что соответствует случаю кеплеровского движения), или в эллиптических функциях, если а ф О, так как в этом случае к ньютоновой силе присоединяется сила Гука и решение задачи приводится к уравнению типа (4.31). [c.201] Это уравнение подстановкой (4.28) приводится к виду (4.31) и может быть проинтегрировано в эллиптических функциях. [c.202] В первом издании настоящей книги, а также во втором и третьем изданиях К1шги автора Небесная механика. Основные задачи и методы . Кроме того, обобщенная задача двух неподвижных центров составляет основное содержание упоминавшейся монографии профессора Е. П. Аксенова. [c.203] Здесь мы будем рассматривать задачу двух неподвижных центров как частный случай общей задачи многих неподвижных центров. Пусть имеются только два неподвижных центра Л 1 и М2 с массами т1 и Ш2 соответственно. Выберем неизменную систему координат так, чтобы одна из координатных осей (пусть это будет ось Ог) проходила через эти неподвижные центры. [c.203] Разрешая систему (4.42), мы получим цилиндрические координаты в функции времени, постоянной с, которая является произвольной постоянной, и еще четырех произвольных постоянных, за которые можно принять ро, ро, 2о, о, т. е. начальные значения (для t = 0) цилиндрических координат и их первых производных. [c.204] Расстояния Ль Гг и их производные первого и второго порядка определяются формулами (4.110, где нужно положить /==1,2. [c.204] Заметим, что при произвольных значениях ць 2 и функций р1 и р2 уравнения (4.42) пригодны также для определения движения точки М в любой плоскости, проходящей через ось Ох, в том числе и в плоскости (хОг) или (уОг). Для этого нужно только, чтобы в начальный момент точка М находилась в этой плоскости и чтобы вектор ее начальной скорости также лежал в этой плоскости. При этом уравнение (4.410 отпадает. [c.204] Уравнения (4.48) так же, как известно, интегрируются в квадратурах, но только после преобразования прямоугольных координат к эллипсоидальным координатам Ламе. [c.207] Вернуться к основной статье