ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основы теории периодических решений А. М. Ляпунова из "Небесная механика Аналитические и качественные методыИзд.2 " Ответом на этот вопрос и является построенная А. М. Ляпуновым теория периодических решений систем вида (3.12), к изложению основ которой мы теперь и переходим. [c.133] Предварительно мы преобразуем систему (3.12) к некоторому характерному виду, используя для этого первые интегралы линейной системы (3.12 ). [c.133] Заметим, что, без нарушения общности, все постоянные а и Ps в уравнениях (3.15) можно считать равными нулю. [c.135] Докажем теперь теорему А. М. Ляпунова о существовании периодического решения полных уравнений (3.17). [c.136] Так как все функции X, У, Хв в уравнениях (3.17) не содержат в своих разло.женпях членов ниже второго порядка относительно X, у, х, то правые части уравнений (3.19 ) будут голоморфными функциями величин г, г , Хд,. . ., г , уничтожающимися при одновременном равенстве все этих величин нулю и коэффициенты разложений которых суть периодические функции величины О, которые всегда можно представить в виде конечных рядов косинусов и синусов целых кратностей О. [c.137] Притом ряды эти сходятся равномерно для всех вещественных значений О, пока модули величин г, z не превосходят некоторого, не равного нулю предела. [c.137] Такое преобразование, как известно из теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, всегда возможно, и мы можем считать, что оно уже выполнено. [c.139] Рассматривая теперь в этом предположении ряды (3.21), допустим, что в этих рядах все коэффициенты uf для которых (J- /, уже определены и, таким образом, известны. [c.139] При сделанных предположениях о корнях определяющего уравнения все р., будут во всяком случае отличными от нуля. [c.140] Но по свойству функций я, для модулей коэффициентов в их разложениях (которые суть периодические функции от ) всегда можно выбрать постоянные высшие пределы так, чтобы ряды, в которые обратятся эти разложения после замены коэффициентов такими высшими пределами, были сходящимися при отличных от нуля г, 8, модули которых достаточно малы. Тогда этими рядами определятся некоторые голоморфные функции переменных г, 2 , которые обозначим соответственно через Р г га) и Ре г га). Функции эти будут уничтожаться при / = = 21 = 22 =. .. = 2 = о и притом заведомо не будут содержать в своих разложениях члены первого порядка. [c.141] Но существование решения (3.27) уравнений (3.27 ) вытекает из общей теоремы о неявных функциях (см. 2 главы I), так как уравнения (3.27 ) удовлетворяют, как легко установить, всем условиям упомянутой теоремы. [c.142] Поэтому ряды (3.27) будут абсолютно сходящимися по крайней мере при достаточно малых значениях с , а так как эти ряды являются усиливающими для рядов (3.21), то последние также будут абсолютно сходящимися при достаточно малом [с и при всех вещественных значениях . [c.142] Поэтому построенные нами ряды (3.21), в которых все коэффициенты — периодические функции О с периодом 2л (представляющиеся конечными рядами косинусов и синусов целых кратностей О), действительно определят периодическое решение уравнений (3.20), зависящее от произвольной постоянной с и стремящееся к нулю, когда с стремится к нулю. [c.142] В формулах (3.28) нужно теперь заменить вспомогательную переменную й ее выражением в функции / и установить периодичность полученного решения относительно (. [c.142] Покажем, как найдется эта функция и каков будет вид периодического решения системы (3.17). [c.143] Здесь через 0 обозначена голоморфная функция переменных г, Zs, уничтожающаяся при одновременном равенстве последних нулю и обладающая в своем разложении коэффициентами, представляющими целые рациональные функции от os О и sind, которые можно также представить в виде конечных сумм косинусов и синусов целых кратностей О. [c.143] Заменяя теперь в выражении функции 0 величины г и Zs разложениями ( 21), мы сделаем 0 функцией переменной О, а поэтому из уравнения (3.29) можно будет определить О как функцию t. [c.143] Так как после подстановки в 0 вместо г и гз рядов (3.21) эта величина делается голоморфной функцией с, уничтожающейся при с = О, то функция, стоящая под знаком интеграла в (3.29 ), также голоморфна относительно с и равна единице при с = 0. [c.143] И наша задача заключается теперь в определении О как функции t из этого уравнения. [c.143] При этом, рассматривая внимательно структуру функций 0j, мы без труда убедимся, что h = 0. [c.144] Вернуться к основной статье