ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Предварительные соображения и замечания из "Небесная механика Аналитические и качественные методыИзд.2 " Было уже замечено, что уравнения (3.1) мы вообще интегрировать в конечном виде не у.меем, так как до сих пор не найден какой-либо достаточно общий метод нахождения общего решения или общего интеграла системы обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.123] Поэтому приобретает большое значение проблема разыскания частных решений (или частных интегралов), позволяющих установить хотя бы некоторые свойства функций, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям, а следовательно, некоторые свойства движения рассматриваемой материальной системы. [c.123] Многовековые наблюдения за движениями планет и их спут ников издавна обнаружили замечательную повторяемость не бесных явлений, происходящую от периодичности или, по край ней мере, почти-периодичности действительных движений ре альных небесных объектов. [c.123] Поэтому возникает вопрос о возможности представления координат движущихся небесных тел аналитическими формулами, содержащими или только периодические функции времени, или хотя бы некоторые периодические части. [c.124] А эта задача и приводится к задаче о разыскании таких решений уравнений движения типа (3.1), которые были бы или чисто периодическими функциями времени, или почти-периоди-ческими, или содержащими периодические функции частично. [c.124] Математическая задача, требующая разрешения, заключается в самом общем виде в следующем. [c.124] Дана система дифференциальных уравнений типа (3.1). Требуется узнать, не имея общего решения этих уравнений, имеются ли среди бесчисленного множества частных решений такие, которые являются периодическими, и если такие решения существуют, то найти аналитические формулы, их представляющие. [c.124] Таким образом, задача расщепляется на две отдельные частичные задачи. Первая задача, относящаяся к области качественной теории дифференциальных уравнений, это задача о существовании периодических решений, и методы решения этой задачи суть качественные методы небесной механики. Вторая задача, заключающаяся в нахождении формул, представляющих периодические решения, относится к области аналитической теории, и методы ее решения суть аналитические методы небесной механики. [c.124] Наиболее трудной является первая задача, так как, если известно, что периодические решения существуют, то всегда можно найти формулы, представляющие эти решения (хотя бы при помощи бесконечных рядов). [c.124] К сожалению, математики до сих пор не открыли какой-либо общий метод обнаруживания существования периодических решений и указали только некоторые частные приемы, при помощи которых иногда действительно удается обнаружить такие решения, после чего нетрудно, как уже замечено, построить формулы, по которым можно производить вычисления. [c.124] Такие приемы основаны обычно на предварительном знании одного или нескольких изолированных периодических решений системы (3.1) или системы, получающейся из (3.1) заменой параметров .1,- какими-либо их частными значениями (j-J (чаще все = 0). Такие решения иногда усматриваются из самой формы уравнений (3.1) или являются следствием самой структуры рассматриваемой материальной системы. [c.124] Например, может случиться, что уравнения (3.1) удовлетворяются постоянными значениями неизвестных функций, что соответствует положению равновесия материальной системы. [c.124] Такое решение может рассматриваться как периодическое с произвольным периодом, и тогда возникает вопрос о существовании и нахождении периодических движений около такого положения равновесия. [c.125] Если найдены периодические решения системы (3.1) при любых значениях параметров, то задачу отыскания других периодических решений, близких к уже известным, мы будем называть задачей Ляпунова, а совокупность методов или приемов нахождения таких периодических решений — теорией периодических решений Ляпунова. [c.125] Может также случиться, что легко обнаружить периодические решения системы (3.1) при частных значениях параметров (так, например, если в задаче трех тел одну из масс положить равной нулю, то получим задачу двух тел, которая допускает периодические решения — движения по кругу или по эллипсу). [c.125] Тогда можно поставить вопрос об отыскании периодических решений системы (3,1) при значениях параметров, близких к тем частным значениям, которые соответствуют периодическим решениям. Такую задачу будем называть задачей Пуанкаре, а совокупность методов разыскания таких периодических решений будем называть теорией периодических решений Пуанкаре. [c.125] Из сказанного в разделе 3 4 главы I непосредственно вытекает, что между этими двумя теориями нет принципиального различия, так как и та и другая рассматривают вопрос о нахождении периодических решений, близких к уже известным. [c.125] Ясно также, что теорию Пуанкаре можно рассматривать как некоторый частный (или особый) случай теории Ляпунова, так как параметры входящие в уравнения (3.1), можно рассматривать также как неизвестные функции. [c.125] Однако из методических соображений мы будем рассматривать обе теории по отдельности. К тому же и области применимости каждой из этих двух теорий различны, и в каждом отдельном случае удобнее применять метод, взятый или из теории Ляпунова, или из теории Пуанкаре. [c.125] Мы будем заниматься в нашей книге теорией периодических решений только в указанной постановке, и других теорий по причине ограниченного объема книги касаться вовсе не будем. [c.125] Вернуться к основной статье