ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Постановка задачи и определения из "Небесная механика Аналитические и качественные методыИзд.2 " Допустим, что функции Xs удовлетворяют всем условиям теоремы Ляпунова, рассмотренной в 4 главы 1. [c.55] При этом функции Ха, удовлетворяющие уравнениям (2.1), представляются рядами, расположенными по степеням начальных значений абсолютно сходящимися при всяком / в области ( 0 — Т, 0 + Т) и при всяких выполняющих неравенства (2.3). [c.56] Мы можем также сказать, что нулевое решение (2.2) аппроксимирует в промежутке to — Т, Т) любое решение системы (2.1), для которого I Я (е, Т). [c.56] Упомянутые ряды допускают вообще аналитические продолжения и за пределы промежутка их сходимости, но тогда мы не можем гарантировать, что неравенства (2.3 ) будут оставаться постоянно выполненными при всяких удовлетворяющих неравенствам (2.3). [c.56] Иными словами, вообще говоря, из множества решений системы (2.1), выходящих в начальный момент из достаточно малой окрестности начала координат, только некоторые будут оставаться в области, определяемой неравенствами (2.3 ) при всяком t (или только при значениях /, удовлетворяющих одному из условий I о, / to). [c.56] Другие же решения, выходящие даже из сколь угодно малой окрестности начала, будут покидать область (2.3 ) при некотором конечном значении /. [c.56] Однако может случиться, что число X окажется не зависящим от Т и что при выполнении неравенств (2.3) неравенства (2.3 ) будут выполняться для всякого t или, во всяком случае, для значений t, удовлетворяющих одному из условий ( 0, t to. [c.56] Тогда нулевое решение (2.2) будет аппроксимировать любое решение системы (2.1), для которого I Я (е) в сколь угодно большом промежутке времени, расположенном по крайней мере по одну сторону от начального момента /о. [c.56] В этом случае нулевое решение, или невозмущенное движение, мы будем называть устойчивым (в смысле Ляпунова), а в противоположном случае — неустойчивым. [c.56] Всякой системе начальных значений (начальные возмущения), удовлетворяющих неравенствам (2.4), будет соответствовать единственное непрерывное решение уравнений (2.1), отличное от нулевого или от невозмущенного движения, которое мы будем называть, следуя Ляпунову, возмущенным движением. [c.57] Частным, но важным для приложений случаем понятия устойчивости является асимптотическая устойчивость, когда невозмущенное движение, удовлетворяя предыдущему определению, вдобавок таково, что при всяких, численно не превышающих известного предела, начальных возмущениях все функции Xs приближаются к нулю, когда t беспредельно растет, т. е. когда lim (О = О (s = 1, 2,. . ., и). [c.57] что если невозмущенное движение удовлетворяет последнему определению, то оно заведомо удовлетворяет и первому. Обратное, разумеется, yтвepлiдaть нельзя. [c.58] Переходя к понятию неустойчивости, заметим, что оно прямо противоположно понятию устойчивости, так что всякое невозмущенное движение, не являющееся устойчивым (т. е. не удовлетворяющее определению устойчивости), является неустойчивым. [c.58] В этом случае мы будем говорить, что невозмущенное движение абсолютно неустойчиво. [c.58] Заметим еще, что из определения неустойчивости следует, что, задавая числа Я и е, мы можем найти такое т /о, чго при любых 4°) Я неравенства л 5(/) е будут выполняться для всякого / в промежутке (/о, т). [c.58] Очевидно, что определение условной устойчивости есть не что иное, как иначе сформулированное определение неустойчивости (но не абсолютной неустойчивости). [c.59] При этом может оказаться, что обнаруженное при I свойство невозмущенного движения изменится на другое, даже на противоположное, при t /о, т. е., например, устойчивость в будущем может превратиться в неустойчивость в прошлом или наоборот. Может также случиться, что невозмущенное движение обладает одним и тем же свойством и при и при 1 е к. [c.59] Можно заметить также, что решение задачи об устойчивости в прошлом можно свести к решению задачи об устойчивости в будущем, просто изменяя в уравнениях (2.1) 1 на —i. [c.59] Заметим еще, что может случиться (и это будет наиболее общий случай), что функции Х (1 ха) даны только для значений заключенных в некотором промежутке (/о, ), за пределами которого рассматривать задачу по каким-либо причинам не имеет смысла. Тогда приведенные определения устойчивости и неустойчивости в смысле А. М. Ляпунова могут быть сохранены с заменой слов ...для всех значений о на следующие ... для всех значений 1 в промежутке (/о, ).. При этом, если невозмущенное движение оказывается неустойчивым, то это означает, что величина т, играющая роль в определении неустойчивости, такова, что т Таким образом, невозмущенное движение неустойчиво, если последующие возмущения не способны оставаться численно меньшими назначенного предела в течение всего того промежутка времени, когда имеет смысл рассматривать данное движение. [c.59] МЫ Приведем наши уравнения к первоначальному виду, а так как 0 неограниченно растет вместе с t и, следовательно, может играть такую же роль, как и /, то заключим, что решение х=0, г/ = О данных уравнений также устойчиво. [c.61] Вернуться к основной статье