ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные теоремы о нелинейных уравнениях из "Небесная механика Аналитические и качественные методыИзд.2 " Примечание. Во всех рассуждениях и выводах этого параграфа все переменные могут принимать как вещественные, так и комплексные значения. Точно так же и коэффициенты рядов, как данных (левые части уравнений), так и искомых (неизвестные функции), могут быть какими угодно комплексными числами. [c.25] Однако иногда мы будем иметь дело с уравнениями, все коэффициенты которых — вещественные числа, и нас тогда будут интересовать вещественные значения неизвестных функций, соответствующие вещественным значениям независимых переменных. [c.25] Поэтому в каждом таком случае нужно будет дополнительно проверять, что получающиеся решения оказываются на самом деле вещественными. Такая проверка основывается обычно на простых соображениях. Если, например, наша задача заключается в нахождении действительного корня уравнения (1.28 ), все коэффициенты которого — вещественные функции вещественной переменной, то мы можем утверждать, что при нечетном п это уравнение обязательно будет иметь по крайней мере один вещественный корень, стремящийся к нулю вместе с х. Этот корень представится поэтому действительным рядом с вещественными коэффициентами. [c.25] Пусть — заданные начальные значения величин Хе, сО ответствующие 1 = /о to — начальный момент). [c.26] Из этих формул следует, что все функции — непрерывные функции обращающиеся в нуль при I = 1о. [c.26] Остается доказать сходимость рядов, коэффициенты которых определяются формулами (1.38). Для этого обозначим через р постоянное положительное число, большее всех значений, которые может принимать модуль каждой из функций при и — 01 О, и через наибольшую из величин I х . [c.26] Всякую матрицу, столбцами которой являются п линейно независимых решений системы (1.30), называют интегральной матрицей этой системы. Так, матрицы X t) = л за(011 и t) = = II х о(/) являются интегральными. [c.29] Следуя А. М. Ляпунову, мы будем называть (1.44) определяющим уравнением (характеристическим — по другой терминологии), а определитель, представляющий его левую часть,— основным. [c.30] Заметим, что во всех приведенных формулах мы не различаем случаев вещественных и комплексных корней определяющего уравнения, так что при наличии последних и когда все р а суть вещественные постоянные, формулы (1.45), (1.45 ) и (1.45 ) нужно еще привести к действительному виду. [c.31] Если решения типа (1.43) рассматривать как частные случаи решений вида (1.46) (когда /з(/)—постоянные), то каждому корню кратности ц будет соответствовать ц независимых решений вида (1.46). Притом, если в числе этих решений находится такое, в котором степени по крайней мере некоторых из функций /а(0 достигают своего высшего предела ц—1, то, исходя из этого решения, можем получить все независимых решений, соответствующих корню х, заменой функций fs t) их производными по ( от нулевого до ( х—1)-го порядка включительно. [c.31] Мы будем говорить, что в этом случае корню х соответствует одна группа решений. Случай этот представится всякий раз, когда рассматриваемый х-кратный корень не обращает в нуль по крайней мере один из первых миноров основного определителя О (х) = I р — 1°х . [c.31] Пусть вообще определяющее уравнение имеет v различных корней Хь Х2,. .., xv, кратности которых суть Ць Ц2.Цу. [c.32] Поэтому 2п корней определяющего уравнения распределяются на п пар иь К2,. .., и , среди которых могут быть, разумеется, и равные. [c.33] Из всех коэффициентов Л только А выражается просто через коэффициенты psa системы (1.36). [c.35] 52) следует, что характеристичное уравнение не может иметь равных нулю корней и что если оно имеет отрицательные корни, то число таких корней всегда будет четным. [c.35] Так как р—корень уравнения (1.51), то определитель этой системы равен нулю и система заведомо имеет ненулевые решения, откуда следует, что функции (1.53) действительно представляют частное решение уравнений (1.36). [c.36] Существуют и другие способы составления характеристичного уравнения. Например, часто встречается случай, когда коэффициенты Раа, будучи периодическими функциями зависят еще от одного или нескольких малых параметров 1г, по отношению к которым они голоморфны при ,иг Д. [c.37] Теорема А. М. Ляпунова. Коэффициенты Ад характеристичного уравнения являются голоморфными функциями параметров Цг в области I ц,. Д. [c.37] Теорема А. М. Ляпунова. Если предложенная система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами имеет каноническую форму, то соответствующее ей характеристичное уравнение всегда возвратное. [c.37] теоремы следующего параграфа. [c.37] Вернуться к основной статье