ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Эллипс, гипербола, парабола из "Оптика конических сечений " Приведем в соприкосновение сферы, вписанные в конус. [c.11] Эллипс тем более отличается от окружности, чем больше отношение отрезка рхр2 2с к отрезку АуА2 — 2а. Это отношение называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет окружности равен нулю. [c.12] Эта краткая формула показывает, что гипербола есть геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух фиксированных точек постоянна ). [c.13] Гипербола, аналогично эллипсу, вполне определяется прямоугольником, симметричным относительно осей и отсекающим на них отрезки 1 2 = 2а и Вф2 — Ь Ь = с — а ). Прямые, на которых лежат диагонали этого прямоугольника. [c.13] В этом случае существует только одна сфера, вписанная в конус и касающаяся плоскости сечения. Точка касания Р называется фокусом параболы. [c.14] Плоскость окружности п и плоскость параболы пересекаются по прямой й, называемой директрисой параболы. [c.14] Покажем, что любая точка М параболы равноудалена от фокуса Р и директрисы й. [c.14] Для этого заметим, что образующая, параллельная плоскости параболы, касается сферы в точке диаметрально противоположной фокусу, а плоскость SLЛI пересекает плоскость параболы по прямой МР, перпендикулярной к директрисе. [c.14] По теореме (а) 51 = и соответственно МЫ = МР. По той же теореме ММ = МР. Следовательно, МР — МР, что и утверждалось. [c.14] Плоскости круговых сечений, по которым сферы касаются конуса, и плоскость эллиптического сечения (рис. 18) пересекаются по прямым и ( 3, называемым директрисами эллипса. [c.15] Плоскость, проходящая через прямую 31, параллельную фокальной оси эллипса, пересекает конус по образующей 5уИ, а плоскость эллипса— по прямой МР, перпендикулярной директрисам. Образуются подобные треугольники 5ЬМ и МРЫ. [c.16] Эта формула показывает, что эллипс есть геометрическое место точек, отношение расстояний которых от фокуса а директрисы постоянно. [c.16] Вполне аналогично устанавливается то же свойство эллипса по отношению к другому фокусу и другой директрисе. [c.16] Плоскости круговых пер болы пересекаются по прямым директрисами гиперболы (рис. 19). [c.16] Формулы (9) и (10) показывают, что гипербола есть геометрическое место точек, отношение расстояний которых от фокуса и директрисы постоянно. [c.17] Аналогичным свойством обладает гипербола относительно фокуса и директрисы, соответствующих нижней полё конуса. [c.17] Указание. Воспользоваться рисунком 12 и свойством вписанной и вневписанной окружностей треугольника (эти окружности касаются стороны треугольника в точках, равноотстоящих от ее концов). [c.17] Указание. Обобщить способ, указанный в приложении 7. [c.17] Указание. Использовать свойство параболы, доказанное в п. 7. [c.17] Указание. Предварительно рассмотреть случай, когда вершина угла совпадает с фокусом параболы. [c.18] Вернуться к основной статье