ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Соотношение между v() и потенциалом из "Потенциальное рассеяние " Приведенная схема последовательных приближений позволяет восстановить потенциал по у( ), т. е. зная только сдвиги фаз. При этом потенциал, очевидно, однозначен, благодаря чему возникает кажущийся парадокс, связанный с тем, что, согласно гл. 12, должна существовать целая группа потенциалов с эквивалентными сдвигами фаз по числу произвольных параметров, характеризующих связанные состояния системы (см. гл. 7). [c.86] Предположим для простоты, что существует только одно связанное состояние. Объяснение парадокса заключается в том, что метод Мартина всегда воспроизводит потенциал с наименьшим радиусом действия 1/т [22], в то время как все остальные потенциалы, соответствующие тем же фазам, имеют больший радиус 1/2х, если 2к т (—х —энергия связанного состояния). Эти потенциалы могут получиться, если нуль знаменателя Ц—к) включить в разрез верхней полуплоскости переменной к (см. также гл. 11, 8). [c.86] Выдающимся достижением теории 5-матрицы явилось единое описание рассеяния и связанных состояний, основанное на использовании аналитических свойств 5 (Я, ). [c.87] Так как мы уже исключили случай 1т о=0, то Не 0=0, т. е. величина ко чисто мнима, а Ео вещественна и отрицательна. [c.88] Следовательно, при 1т 0 функция 5/(А ) имеет в случае юкавских потенциалов особенности только на верхней мнимой полуоси. В прошлом это обстоятельство рассматривали как известное затруднение, поскольку возникали некоторые неясности при попытке определения связанных состояний не как нулей —к), а как особенностей 5/(А). Действительно, возможны случаи, когда динамический разрез вырождается в ряд полюсов (ложных полюсов) ниже мы специально рассмотрим примеры, когда полюсы не обязательно отвечают связанным состояниям [64, 52]. [c.91] Указанная трудность была значительно преувеличена, и было выполнено значительное число исследований с целью исключить так называемые ложные полюсы . Прямоугольная яма и гауссовский потенциал не дают ложных полюсов, поскольку не имеют динамического разреза поэтому они считались предпочтительными по сравнению с полевыми потенциалами. [c.91] В основном рассматривается полная амплитуда рассеяния, которой не соответствует верхний динамический разрез сейчас вообще не встает вопрос о том, являются ли все полюсы связанными состояниями. [c.93] Как мы только что видели, связанным состояниям соответствуют нули /г(— ) в области 1т 0 при целочисленном I. Естественно поставить вопрос, как интерпретировать подобные нули при произвольных значениях к. В случае связанных состояний математические свойства волновой функции (в отличие от их физической интерпретации) остаются неизменными при любых вещественных %. При произвольных к (при 1т 0 или 1т 0) вывод 1, сформулированный в виде равенства (7.4), более не сохраняет силы, поскольку (7.6) показывает, что соответствующая волновая функция не будет, вообще говоря, входить в 2(0, оо). Полученное выше для связанных состояний заключение о том, что Кек=0, перестает быть верным. Следовательно, если 1т к 0, то на положение нулей не накладывается никаких априорных ограничений, не зависящих от конкретного вида потенциала. [c.93] Резонансы обладают весьма интересными свойствами, которые впервые стали понятными из известной теории Брейта — Вигнера. Мы дадим здесь краткое резюме этой теории, делая ударение на ее математической стороне. [c.94] 15) видно, что вклад S-волны в полное сечение имеет острый максимум при k=h. Если величина k — h велика по сравнению с Ь, то формула (7.15) перестает быть справедливой и сечение нужно определять по-другому, а именно непосредственно решая волновое уравнение. Можно, однако, ожидать, что sin2 6( ), а следовательно, и полное сечение будут медленно меняюшимися функциями, когда k лежит далеко от h, и обладать острым пиком при k вблизи h. Согласно (7.15), ширина пика по переменной k равна 21 1, а по переменной E=k равна b h. [c.95] Все сказанное может быть обобщено на волны с/ 1, многоканальные задачи и задачи со спином [11]. [c.96] Следовательно, в процессе рассеяния частица проводит намного больше времени вблизи рассеивающего центра, чем она проводила бы при отсутствии взаимодействия. Именно в этом состоит качественное объяснение резкого возрастания сечения при резонансе. [c.96] При этом среднее время жизни т, равное х=2М]ЬТ, велико, если скорость изменения вероятности мала. Рассеянная волна модулируется экспонентой, возрастающей с расстоянием. Это понятно, так как дальше расположенные части волны были испущены раньше, когда источник был более интенсивным [11]. Наоборот, сопряженное решение представляет процесс, в котором вероятности возрастают, поскольку направление тока в этом случае обратно. [c.97] Если величина Ь очень мала, то сечение при низких энергиях становится необычно большим. Так как вторая половина формул (7.16) четна относительно Ь, то связанные и антисвязанные состояния не различаются в этом отношении между собой. Только при отсутствии связанных состояний, способных объяснить особое поведение сечения при низких энергиях, можно с определенностью говорить о наличии антисвязанных состояний. [c.98] Волновая функция антисвязанного состояния удовлетворяет условиям, полностью противоположным тем, которым обычно подчиняются приличные волновые функции она экспоненциально возрастает при больших X] равенство (к)=0 только исключает затухающую экспоненту из асимптотики, где эта экспонента и без того несущественна. [c.98] По аналогичным соображениям функция к) при 1т 0 нестабильна относительно изменения потенциала. Следовательно, если мы хотим аналитически продолжить (к), исходя из экспериментальных данных, то для перехода в нефизическую область понадобится экстраординарная точность опытов. [c.99] Теорема Левинсона (5.37) связывает число связанных состояний, обладающих заданным (физическим) угловым моментом /=Я,—7г, со сдвигом фазы при нулевой энергии. Следовательно, значение рд, можно найти из рассмотрения уравнения для парциальных волн при к—О. [c.99] Пусть Фх=ф(Я-, О, д ) если х очень велико и если нет связанных состояний с нулевой энергией [т. е. [c.99] Это объясняется тем, что число возможных связанных состояний может при этом только увеличиться. Докажем теперь следующую теорему. [c.100] Вернуться к основной статье