ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Природа сингулярности при из "Потенциальное рассеяние " Приведем две теоремы, позволяющие разъяснить источник возникновения сингулярности в точке k = 0. [c.45] Теорема 1. Если У(д ) удовлетворяет (4.6) и Х = 1+Чг, где / — целое число, то f l,k,x) — аналитическая функция k в области Im m/2, исключая кратный полюс порядка U1—7г в точке = 0. [c.45] Для однозначного определения f(X,k,x) введем разрез вдоль верхней мнимой полуоси от k = 0 до fe=im/2. В получившейся области Imft m/2, 0 от/2, функция f X, k, х) однозначно определяется итерационным разложением. Соответствующее значение будем называть главным значением/(А., Л, х). [c.45] Для выяснения характера сингулярности при fe = 0 мы должны обойти вокруг k = 0 с переходом на другой лист риманрвой поверхности функции f X,k,x). Пусть Y — путь, соединяющий k и —к, и пусть агд = ф и arg(— )=ф + п, т. е. обход fe = 0 производится против часовой стрелки. Потребуем также, чтобы для всех к имело место Im т/2. Если f(X,k,x)—главное значение функции от к, то ее значение при —к, полученное аналитическим продолжением вдоль Y. мы обозначим f X, к ехр in, х). [c.45] Приведенное обозначение -может быть очевидным образом обобщено, если определить f(X, kexpinn,x) как аналитическое продолжение f(X,k,x) вдоль пути, лежащего в области Im к т/2 и окружающего точку =0 против часовой стрелки с непрерывным изменением аргумента от ф до +пя. После введения обозначений мы можем сформулировать еле-дующую основную теорему. [c.45] Второе соотношение является очевидным следствием первого и может быть из него формально получено заменой k на expt(n — 2) я. Смысл теоремы состоит в том, что характер точки ветвления при /г = 0 и, следовательно, разрез от О до гт/2 не зависят от потенциала. Как легко проверить, невозмущенное решение fo(X,k,x) (4.2) удовлетворяет этой теореме. [c.46] Вернуться к основной статье