ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения Пуанкаре-Жуковского из "Динамика твёрдого тела " Уравнения движения для многосвязного тела. Рассмотрим также движение в жидкости по инерции многосвязного твердого тела т (тело с отверстиями). Окружающее тело область т также многосвязна, пусть она допускает п +1 негомотопных друг другу замкнутых путей (контуров), среди них п контуров, которые обозначим 1. не могут быть стянуты в точку внутри области т (количество замкнутых несвободных контуров п связано с числом отверстий в теле т соотношением п = С ) (рис. 78). [c.267] Однако, вследствие неодносвязности области, потенциал скоростей р определяется уравнением Лапласа и граничными условиями неоднозначно. [c.268] Замечание 1. Потенциалы tpi, и следовательно fio, являются неоднозначными функциями в области 7 т. [c.269] Замечание 2. Уравнения движения для динамики твердого тела в жидкости в потенциальном поле записываются на алгебре е(3) s и приведены в гл. 1, 4 (5.8). В этом случае к функции Гамильтона (2.18) необходимо добавить потенциальную энергию U = U a, 7, х), где а, у — направляющие косинусы, X — радиус-вектор центра масс. Существует два наиболее важных случая динамики твердого тела в жидкости в потенциальных полях, указанных С. А. Чаплыгиным [175, 177], для которых уравнения движения так же могут быть записаны на алгебре е(3). (При этом отделяется система уравнений для вектора кинетического момента М и орта вертикали 7). [c.269] В обоих случаях тело должно быть так же ограничено поверхностью, обладающей тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии. [c.269] Выше были рассмотрены уравнения движения твердого тела в жидкости, теперь перейдем к рассмотрению другого класса задач, связанных с движением твердого тела, содержащего полости, заполненные идеальной несжимаемой жидкостью, вокруг неподвижной точки. При этом наиболее интересен случай, когда жидкость совершает движение, обладающее однородной завихренностью [125, 129, 256]. В этом случае также отделяется шестимерная система уравнений, описывающих изменение кинетического момента М тела и завихренности жидкости Случай потенциального течения жидкости в односвязной полости приводит лишь к изменению моментов инерции твердого тела и определяет инвариантное многообразие = 0. Для потенциального течения в многосвязной полости получаются уравнения движения твердого тело с гиростатом, этот случай подробно изучался Н. Е. Жуковским [78]. Тело с гиростатом называется эквивалентным по Жуковскому. Можно показать, что однородное вихревое движение жидкости возможно лишь в эллипсоидальной полости [129]. [c.270] Выберем подвижную систему координат — Ое 1,62,63 с началом в неподвижной точке О и осями, жестко связанными с оболочкой (см. рис. 79). Вектор Хс = хс1,хс2,хсз.) задает координаты центра полости в системе 0б1,62,63. [c.270] Важной особенностью эллипсоидальной полости, является то, что в ней существует частное решение уравнений Эйлера идеальной жидкости, для которого скорости х), удовлетворяющие уравнениям гидродинамики и граничным условиям, линейны по координатам. Именно поэтому однородное в начальный момент вихревое течение, остается однородным во все моменты времени (А. Пуанкаре, П. Л. Дирихле). Укажем это решение в явном виде. [c.270] Таким образом, — угловая скорость некоторой воображаемой сферы с центром в точке С. Более того, любому повороту этой воображаемой сферы соответствует некоторое перемещение жидкости в полости. Фактически соотношения (2.26) устанавливают аналогию этой системы с системой связанных волчков. Эта аналогия допускает простое обобщение на случай п полостей [21]. [c.272] Замечание 3. Уравнения, описывающие эволюцию угловой скорости твердого тела ш и вектора завихренности течения в полости (2.21) можно получить другим способом (этот способ был использован Н. Е. Жуковским). Первая тройка уравнений (2.28), (2.32) получается применением теоремы о сохранении момента количества движения М для системы тело+жидкость . [c.274] П-и X П-ВП = гot , В = где 7 задается выражением (2.25). [c.274] Замечание 4. Обобщение проблемы Пуанкаре , состоящую в исследовании колебаний абсолютно твердой оболочки, заключающей в себе ядро из идеальной жидкости, имеется в геофизическом двухтомнике П. Мельхиора [125]. Здесь имеются также различные исторические ссылки и приводится анализ двойного резонанса и эффекта гиростатической твердости, обнаруженных Пуанкаре [256]. [c.274] Вернуться к основной статье