ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Неподвижные точки на сфере Пуассона из "Динамика твёрдого тела " Для численных исследований оба этих способа не являются оптимальными. В первом случае проблемы возникают из-за особенности вблизи полюсов 7з = 1, во втором — вследствие потери ортонормированности векторов а, /3, 7, вызванной диссипацией численных методов. При получении почти всех компьютерных иллюстраций, приведенных в книге, мы пользовались приведенной в 4 гл. 1 кватернионной формой записи уравнений движения. Эта система описывает абсолютную динамику твердого тела, лишена особенностей и не является избыточной, что делает ее незаменимой для численных исследований. В 4 гл. 3 рассмотрены ее приложения к исследованию динамики в суперпозиции потенциальных полей. [c.91] Неподвижные точки на сфере Нуассона, определяющие решения Штауде и относительные равновесия, соответствуют равномерным вращениям тела вокруг вертикали. [c.92] Регулярные прецессии. Еще один класс периодических решений, восходящий к классическим исследованиям динамики волчка Лагранжа, не связан непосредственно с динамикой приведенной системы. Это — регулярные прецессии, которые в общем случае, как заметил Гриоли ( 6 гл. 2), возможны вокруг невертикальной оси. Для таких движений периодичность движения требуется для некоторой определенной оси в теле, которая должна вращаться вокруг оси, неподвижной в пространстве. Абсолютное движение при этом, вообще говоря, может оказаться непериодическим, т. к. собственное вращение вокруг оси в теле не обязательно соизмеримо с движением этой оси в пространстве. Это наблюдается, например, для регулярных прецессий в случае Лагранжа. [c.92] Далее мы приводим несколько наиболее интересных приведенных и абсолютных движений, полученных при помощи компьютерного моделирования. [c.93] Для интегрируемых систем, а также для движений неинтегрируемых систем, лежащих на инвариантных торах (а не в стохастическом слое) переменная X является (по теореме Лиувилля-Арнольда) некоторой квази-периодической функцией. В общем случае с п рационально независимыми частотами (п — число степеней свободы). Для хаотических движений спектр является сплошным, в самом же движении могут наблюдаться регулярные отрезки и сильно выраженные хаотические пульсации. [c.93] Замечание 3. Частоты ил,. .., Шк называются независимыми, если равенство щи) +. .. + Пки)к = О, где гц Ъ, выполняется только при п +. .. + =0. [c.93] Для движения твердого тела п = Ъ ъ интегрируемых случаях и абсолютное движение, вообще говоря, является трехчастотным. Движение приведенной системы, при наличии линейного интеграла (типа интеграла площадей) является двухчастотным. В этом случае третья частота при переходе к абсолютному движению получается из квадратуры для угла прецессии. Далее мы рассмотрим интегрируемые случаи уравнений Эйлера-Пуассона. [c.93] Действительно, в случае Эйлера существуют три интеграла типа площадей Л 1 = (М,а), N2 = М,(3), N3 = (М,7), образующих алгебру 5о(3) Ni,Nj = eijkN .. При этом абсолютное фазовое пространство расслоено на двумерные, а не трехмерные торы. Отметим, что динамика приведенной системы (на сфере Пуассона) также двухчастотная, т. е. потеря частоты происходит при квадратуре для -ф. [c.94] В задаче Эйлера существуют переменные в фазовом пространстве — компоненты Mi, которые совершают одночастотные, т.е. периодические движения. Эти переменные, однако, практически невозможно измерить. [c.94] Например, в случае волчка Лагранжа угол нутации изменяется периодически. Вместе с тем абсолютное движение является трехчастотным, а динамика приведенной системы (по (р или по ф) — двухчастотной. Интересно, что на нулевой постоянной площадей (М,7) = О, соответствующей сферическому маятнику, абсолютное движение является двухчастотным. [c.94] Устойчивые и неустойчивые одномерные, а также асимптотические инвариантные поверхности приведенной системы задают в абсолютном пространстве, вообще говоря, двухчастотные движения. Это наглядно иллюстрируется на случаях Ковалевской и Горячева-Чаплыгина. В последнем случае, для особого решения Горячева, для малых энергий происходит еще большее вырождение и движение в абсолютном пространстве становится периодическим (см. 5), тело совершает в пространстве любопытные маятниковые движения. Отметим также, что для волчка Ковалевской в приведенном фазовом пространстве имеется набор из трех переменных 21,22,23, в пространстве которых совершается периодическое движение по некоторому эллипсу (см. 4). Эти переменные очень неочевидны и образуются как из компонент момента М, так и орта 7. [c.94] В заключении отметим, что в общем неинтегрируемом случае тело совершает как сложные хаотические движения, для исследования которых, кроме частотного анализа, видимо, надо использовать более тонкие статистические характеристики (типа корреляционных функций), так и различные периодические и квазипериодические движения, нахождение которых в фазовом пространстве и составляет одну из основных задач современной динамики. [c.95] Пересечение поверхности постоянной энергии Н = h со сферой (2.1) в пространстве моментов М представляют собой замкнутые пространственные кривые — полодии. Их вид на поверхности энергии Н = h приведен на рис. 14. [c.95] При переходе к другим областям нужно изменить соответствующие знаки и поменять местами ёп и сп, а также видоизменить выражения для модуля эллиптических функций и униформизирующего параметра т [124]. [c.97] Вследствие постоянства величины / вектор а находится из соотношений (2.2). Квадратуры для 7 могут быть легко получены при помощи сфероконических координат на сфере Пуассона 7 = 1. Действительно, в выбранной системе координат постоянная площадей равна нулю, а гамильтониан в случае Эйлера совпадает с дополнительным интегралом задачи Неймана с нулевым потенциалом. Следовательно, в сфероконических координатах переменные разделяются и можно воспользоваться формулами (7.17) гл. 1 (см. подробно 7 гл. 1). [c.98] Бифуркационная диаграмма случая Эйлера-Пуансо на плоскости значений интегралов к, / приведена на рис. 17. Она состоит из трех ветвей. [c.98] Неустойчивые вращения вокруг средней оси обозначены пунктиром, в этом случае средняя ось инерции тела в неподвижном пространстве описывает локсодромическую кривую (локсодрома) на сфере, поворачиваясь на 180° (см. рис. 18). [c.99] Напомним, что локсодрома составляет одинаковый угол со всеми меридианами. Двоякоасимптотические движения тела в случае Эйлера подробнее разобраны в 9 гл. 5. [c.99] Лагранж в Аналитической механике также дал свое решение задачи Эйлера в это решение я внес всю ясность, и если можно так выразиться, все изящество, которое можно придать этому решению . При этом уже Лагранж считал этот случай слишком простым ... поэтому я льщу себя надеждой, что меня не упрекнут за повторное рассмотрение настоящей проблемы . В его решении замечательным является то, что здесь впервые было явно показано существование трех главных осей инерции у произвольного твердого тела (приводимость симметричной матрицы к диагональному виду) — хотя последнее и не имеет никакого отношения к самому случаю Эйлера. В решении Лагранжа также имеются эллиптические интегралы, но еще не возникает идея их обращения — которая появляется уже у Якоби и достигает своего совершенства и определенной законченности у Вейерштрасса, Эрмита и Альфана. [c.101] Вернуться к основной статье