ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения Эйлера-Пуассона и их обобщения из "Динамика твёрдого тела " Розенхайном и Кенигсбергером теорией тэта-функций двух переменных. Следствием такой линеаризации является замечательный факт, что общее решение системы продолжается до однозначных голоморфных функций в комплексную область времени, т. е. в качестве особенностей решение имеет только полюса. [c.82] Выражение общего решения для большинства интегрируемых задач динамики твердого тела в однозначных эллиптических (в комплексном смысле) функциях времени обусловлено тем, что общий уровень первых интегралов, представляющий пересечение достаточно простых алгебраических поверхностей, типа квадрик, допускает продолжение в комплексную область до абелевых многообразий (абелевых торов), допускающих параметризацию с помощью тэта-функций. Она изучается в проективной и алгебраической геометрии, а сами системы называются алгебраически интегрируемыми. При этом общее решение может получиться однозначным не на комплексной плоскости времени, а на ее конечнолистном накрытии (см. случай Горячева - Чаплыгина, 5 гл. 2). [c.82] Отметим, что аналогичный результат для системы с линейными по импульсам интегралами заключается в том, что эти интегралы всегда оказываются связанными с существованием группы симметрий в конфигурационном пространстве и с циклической переменной. В этом случае, хотя бы локально, всегда возможно соответствующее понижение порядка. [c.82] Если рассматривать не только координатные, но и импульсные преобразования (т. е. общие преобразования фазового пространства), то задача в некотором смысле всегда становится разрешимой по теореме Лиувилля - Арнольда вблизи неособого уровня первых интегралов всегда существуют переменные типа действие-угол, которые и являются разделяющими. Другое дело в том, что эти переменные, как правило, различны для разных областей фазового пространства, разделенного особыми (критическими) инвариантными торами и их построение (даваемое при доказательстве теоремы) не является конструктивным. На практике, как правило, наоборот, переменные действие-угол строятся, если найдены какие-либо разделяющие переменные (см. 8 гл. 5). [c.82] Разделенные переменные, полученные путем расширенного фазового преобразования, известны для случаев Ковалевской и Горячева - Чаплыгина (см. 4,5 ГЛ. 2, 8 гл. 5). Кстати, в этих случаях дополнительный интеграл имеет, соответственно, третью и четвертую степени по импульсам. [c.83] Если для натуральных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, обладающих дополнительным квадратичным интегралом, существуют общие соображения (см., например, Уиттекер [167], Биркгоф [13]), позволяющие конструктивно построить разделяющие переменные, то уже для ненатуральных двухстепенных систем, а также систем, обладающих дополнительным интегралом с более высокой ( 2) степенью по импульсам, разделение переменных является своего рода искусством. Для многомерных систем вопрос о разделении еще более сложен. Здесь практически известно несколько многомерных обобщений двухстепенных систем (типа задач Якоби и Неймана), для которых имеются аналоги эллиптических и сфероконических координат). Более подробно вопрос о разделении переменных на 8 рассмотрен в [18, 283]. [c.83] Отметим, что такие общие утверждения, приводимые в большинстве работ, посвященных нахождению пар Лакса [21, 136, 146], хотя и являются правильными, но и, в некотором смысле, бессодержательными, так как алгоритма построения такого решения не существует, во всяком случае задача является не менее сложной. Следует также отметить излишнюю формализованность такого сорта работ [146, 262], переутяжеленных жаргоном комплексной алгебраической геометрии (см. также недавнюю книгу [134]), любопытным их итогом его является то, что они не проясняют, а еще более усложняют идеи классиков. Новых разделяющих преобразований на этом пути указано не было. [c.83] Итогом сказанному является то, что явное интегрирование и соответствующее разделение переменных для большинства задач динамики твердого тела были найдены классиками в конце XIX - начале XX века. Почти все из них, в несколько модифицированном виде, приводятся нами в 8 гл. 5. Вопрос о разделении переменных для многих более новых систем (гиростатические обобщения, многомерные волчки) до сих пор остается открытым. Возможно, что для решения этого вопроса следует несколько видоизменить саму идеологию метода Якоби и сделать его схему менее жесткой . В качестве дополнительной информации, полезной при этом, по-видимому, следует использовать топологический анализ и комплексные аналитические методы. [c.84] Действительно, как для известных проинтегрированных задач критические уровни набора интегралов могут быть определены из условия кратности корней в характеристическом полиноме уравнений Абеля-Якоби, так и непосредственно из условия падения ранга интегрального многообразия, что позволяет, видимо, с некоторым произволом восстановить разделяющее преобразование. Комплексные методы, основанные на изучении полнопараметрических лора-новских разложений, видимо, также эффективны [243]. Они, как и спектральные представления Лакса способны дать представление о спектральной кривой в гиперэллиптическом случае, на этом пути можно однозначно восстановить разделяющие преобразования и получить уравнения Абеля-Якоби (М. Адлер, П. ван Мёрбеке [186, 188], П. Ванек [279]). Однако с помощью такого подхода пока также не удалось проинтегрировать ни одной новой системы. [c.84] Вернуться к основной статье