ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Что такое эргодическая теорема из "Динамические системы " Интеграл Лебега (1901), основанный на борелевской мере, в течение этого столетия был основным инструментом в замечательных достижениях анализа. По-видимому, эргодической теореме суждено занять центральное место в этом развитии. Действительно, в недавней статье Уинер и Уинтнер отзываются о ней как о единственном результате, установленным для решений динамических систем . [c.349] Все обычные бесконечные множества, определенные, в частности, аналитическими методами, оказываются в этом смысле измеримыми. [c.350] Сущность эргодической теоремы сейчас может быть пояснена при помощи рассмотренного отрезка прямой. [c.350] Другими словами, для п этих точек (начиная с Р) доля точек, которые лежат в множестве М, стремится к определенному ограничению р в то время как п стремится к бесконечности в обоих направлениях. [c.351] В более общем случае, отрезок прямой может быть заменен конечным п-мерным объемом М при п 1, а для точек из М может быть определен переменный (интегрируемый) положительный вес ш Р). Тогда обобщенная теорема будет утверждать, что соответствующие взвешенные средние стремятся к пределу Лр. В элементарном специальном случае, указанном вначале, этот вес равен 1 для точек из М и нулю для точек вне М. При п. 1 дискретное преобразование Т мо-лгет быть заменено на стационарный сохраняющий меру поток Tt со временем нри этом справедлива сходная теорема. [c.351] Пусть теперь М будет произвольно выбранной измеримой частью квадрата, и Р — произвольной точкой квадрата, которая не принадлежит возможному исключительному множеству меры 0. На основании этой же теоремы заключаем, что для бесконечного времени О или О существует определенная вероятность того, что точка Р1 = Т (Р) попадает внутрь М и эта вероятность одинакова в обоих направлениях. Обобщение для произвольного ш Р) справедливо и в случае потока и в дискретном случае. [c.351] В более аналитическом виде, для этих двух случаев п— оо. [c.351] Таким образом, теорема применима к этому потоку. [c.352] Существует один особо интересный случай, который, насколько известно, фактически может быть общим случаем Может случиться, что все точки нашего объема в среднем ведут себя существенно одинаковым образом (конечно же, не принимая во внимание исключительного множества меры 0). В противном случае, все пространство может разбиваться на инвариантные измеримые множества. Так, например, для эллиптического стола, движение полностью заполняет кольцо за пределами некоторого меньшего софо-кусного эллипса, это кольцо образует такое замкнутое инвариантное множество эта интегрируемая задача — предельный случай геодезического потока на поверхности сплющенного эллипсоида. [c.353] Что означает эргодическая теорема, грубо говоря, заключается в том, что для дискретного сохраняющего меру преобразования или сохраняющего меру потока конечного объема, вероятности и взвешенные средние стремятся к пределам, для определенного начального состояния Р (не принадлежащего исключительному множеству меры 0) и, кроме того, предельные значения одинаковы для обоих направлений. [c.353] Эргодическая теорема применяется к разнообразным серьезным задачам анализа и прикладной математики — как ко всей солнечной системе, так и к простой задаче бильярдного шара Так, в известной идеализации для системы Земля-Солнце-Луна Дж. У. Хилла (ограниченная задача трех тел), можем сразу же утверждать (с вероятностю 1), что Луна обладает истинно средним угловым вращением вокруг Земли (измеренное через период), одинаковым в обоих направлениях времени. [c.353] Вернуться к основной статье