ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Бильярдный шар на эллиптическом столе из "Динамические системы " Мы рассмотрим теперь вкратце следующие четыре примера динамических систем 1) бильярдный шар на эллиптическом столе 2) частицу па гладкой выпуклой поверхности 3) частицу на гладкой замкнутой поверхпости повсюду отрицательной кривизны и 4) задачу трех тел. [c.319] Геодезические линии на эллипсоиде с полуосями а, Ь, с а Ь с 0) известны со времен Якоби. Они появляются также в качестве общего решения интегрируемой гамильтоновой проблемы, так как частица, движущаяся по гладкому эллипсоиду без воздействия внешних сил, должна следовать по геодезической линии. Если теперь меньшая полуось с будет стремиться к нулю, в то время как остальные полуоси будут оставаться постоянными, то эллипсоид перейдет в эллипс. Геодезические линии будут состоять из прямолинейных отрезков, и два таких отрезка, принадлежащие одной и той же геодезической линии и следующие друг за другом, должны встречать эллипс под одинаковыми углами. Но такие ломаные линии суть идеализированные пути бильярдного шара на эллипсе. Разумеется, и эта проблема должна быть интегрируемой . [c.319] Геометрическое свойство, соответствующее этой интегрируемости, хорошо известно два следующих друг за другом отрезка суть всегда касательные к одному и тому же коническому сечению, имеющему те же фокусы, что и данный эллипс. Поэтому все движения делятся на аналитические семейства по соответствующим коническим сечениям. [c.319] Мы имеем, таким образом, интегрируемую динамическую задачу с замкнутым многообразием состояний. [c.320] Так как эта проблема интегрируема, то па 8 мы имеем замкнутые инвариантные аналитические кривые, преобразуемые сами в себя при Т и при Т . Все начальные состояния, определяющие отрезки, касательные к одному и тому же коническому сечению с теми же фокусами, что и у края стола, принадлежат одной или двум таким замкнутым кривым. Топологическую природу этих кривых очень легко определить. [c.320] Сейчас же видно, что существуют четыре рода движений а) всюду плотные периодические движения, соответствующие некоторым из этих кривых Ь) всюду плотные рекуррентные, но не периодические движения, соответствующие другим кривым и образующие общий случай в смысле лебеговой меры с) два семейства движений, асимптотически приближающихся к периодическому движению вдоль главной оси в обоих направлениях изменения времени они соответствуют путям, проходящим через фокусы однажды и потому бесконечное множество раз (1) два движения катания по эллипсу в противоположных направлениях, которые также периодичны. Все периодические движения, за исключением движений вдоль короткой оси и двух движений катания, неустойчивы. [c.320] Таким образом, получается полное обозрение всех типов движения и их взаимоотношений, как и следовало ожидать в такой интегрируемой проблеме( ). [c.320] Вернуться к основной статье