Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...

Статьи Чертежи Таблицы О сайте Реклама
Мы рассмотрим теперь вкратце следующие четыре примера динамических систем 1) бильярдный шар на эллиптическом столе 2) частицу па гладкой выпуклой поверхности 3) частицу на гладкой замкнутой поверхпости повсюду отрицательной кривизны и 4) задачу трех тел.

ПОИСК



Бильярдный шар на эллиптическом столе

из "Динамические системы "

Мы рассмотрим теперь вкратце следующие четыре примера динамических систем 1) бильярдный шар на эллиптическом столе 2) частицу па гладкой выпуклой поверхности 3) частицу на гладкой замкнутой поверхпости повсюду отрицательной кривизны и 4) задачу трех тел. [c.319]
Геодезические линии на эллипсоиде с полуосями а, Ь, с а Ь с 0) известны со времен Якоби. Они появляются также в качестве общего решения интегрируемой гамильтоновой проблемы, так как частица, движущаяся по гладкому эллипсоиду без воздействия внешних сил, должна следовать по геодезической линии. Если теперь меньшая полуось с будет стремиться к нулю, в то время как остальные полуоси будут оставаться постоянными, то эллипсоид перейдет в эллипс. Геодезические линии будут состоять из прямолинейных отрезков, и два таких отрезка, принадлежащие одной и той же геодезической линии и следующие друг за другом, должны встречать эллипс под одинаковыми углами. Но такие ломаные линии суть идеализированные пути бильярдного шара на эллипсе. Разумеется, и эта проблема должна быть интегрируемой . [c.319]
Геометрическое свойство, соответствующее этой интегрируемости, хорошо известно два следующих друг за другом отрезка суть всегда касательные к одному и тому же коническому сечению, имеющему те же фокусы, что и данный эллипс. Поэтому все движения делятся на аналитические семейства по соответствующим коническим сечениям. [c.319]
Мы имеем, таким образом, интегрируемую динамическую задачу с замкнутым многообразием состояний. [c.320]
Так как эта проблема интегрируема, то па 8 мы имеем замкнутые инвариантные аналитические кривые, преобразуемые сами в себя при Т и при Т . Все начальные состояния, определяющие отрезки, касательные к одному и тому же коническому сечению с теми же фокусами, что и у края стола, принадлежат одной или двум таким замкнутым кривым. Топологическую природу этих кривых очень легко определить. [c.320]
Сейчас же видно, что существуют четыре рода движений а) всюду плотные периодические движения, соответствующие некоторым из этих кривых Ь) всюду плотные рекуррентные, но не периодические движения, соответствующие другим кривым и образующие общий случай в смысле лебеговой меры с) два семейства движений, асимптотически приближающихся к периодическому движению вдоль главной оси в обоих направлениях изменения времени они соответствуют путям, проходящим через фокусы однажды и потому бесконечное множество раз (1) два движения катания по эллипсу в противоположных направлениях, которые также периодичны. Все периодические движения, за исключением движений вдоль короткой оси и двух движений катания, неустойчивы. [c.320]
Таким образом, получается полное обозрение всех типов движения и их взаимоотношений, как и следовало ожидать в такой интегрируемой проблеме( ). [c.320]


Вернуться к основной статье

© 2025 Mash-xxl.info Реклама на сайте