ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые проблемы динамики из "Динамические системы " Со времен Хилла и Пуанкаре стараются охарактеризовать движения динамических систем в их общих качественных чертах. Эта последняя фаза развития теоретической динамики представляет большой интерес для математика. Важность качественных динамических идей для точных наук едва ли может быть переоценена. Для пояснения этих идей я вкратце рассмотрю несколько простых примеров. После такой подготовки я хочу привлечь внимание к некоторым нерешенным динамическим проблемам. [c.311] При у О каждая точка движется по своей кривой направо, так как dx/dt 0. При у О каждая точка движется налево. На оси х каждая точка движется в направлении оси у или в противоположном направлении. Рассматриваемое устойчивое движение соответствует кривой, лежащей при i О в квадрате ж М, у М. [c.312] Рассмотрим прежде всего простейший случай, когда движущаяся точка ни разу не псрссскаст ось х. Здесь имеется лишь одна возможность точка приближается к поло кению равновесия при бесконечном возрастании t, как показано на рис. 13а. [c.312] Здесь Н — известная функция переменных р, q, т. Этой редукцией мы будем пользоваться в дальнейшем. [c.313] Действительная цель динамики состоит в том, чтобы определить все инварианты данной динамической системы относительно таких преобразований так, чтобы было возможно ответить на вопрос, эквивалентны ли две такие системы или нет. [c.314] Вообще говоря, такие инварианты существуют лишь в окрестности положения равновесия или периодического движения. Поэтому мы будем рассматривать окрестность замкнутой кривой движения, соответствующей такому периодическому движению. [c.314] Соответственно нашей редукции мы будем рассматривать только близкие состояния движения, для которых постоянная энергии та же, что и для данного периодического движения. Они соответствуют трехмерной части многообразия состояний, образующей топологический тор. [c.314] При надлежащем выборе переменных р, д, т данная кривая движения будет лежать вдоль оси г в пространстве р, д, г, где всякие две точки р, д,т + 2ж) и (р, д, г) соответствуют одному и тому же состоянию движения. Здссь тор превращается в бесконечный цилиндр. [c.314] Пусть теперь дана некоторая поверхность 8, пересекающая замкнутую кривую движения в точке Q под углом, отличным от нуля. Плоскость г = О, очевидно, является поверхностью этого рода. Возьмем какую-либо точку Р этой поверхности и проследим проходящую через Р кривую движения в направлении возрастающего времени до первой следующей точки Р1, также лежащей на 8. Этим определяется точечное преобразование Т от любого Р к соответствующему Рх Рх = Т(Р). Это преобразование, как и обратное преобразование Р = Т Р1), аналитично, если только данная проблема и секущая поверхность аналитичны. Следует заметить, что Q является неподвижной точкой преобразования Т. [c.314] В координатах (р/ /к, q /k) это преобразование Т является обычным вращением на угол 2к-к. [c.315] Очевидно, что при другом выборе координат или секущей поверхности определится другое преобразование Т, эквивалентное Т. В самом деле, при новом выборе координат изменяются лишь координаты на S. Но и при новом выборе секущей поверхности паре значений р, q переменных на S соответствует одна и только одна пара р, q на S, в силу чего и здесь преобразования Т и Т должны быть эквивалентными. [c.315] Этот результат допускает обращение, а именно, если преобразования, относящиеся к двум динамическим проблемам, эквивалентны, то и эти проблемы эквивалентны друг другу. Чтобы доказать это, надо лишь определить взаимно однозначное и непрерывное отображение двух многообразий состояний. [c.315] Геометрически это совершается так. Точки поверхностей S и S соответствуют друг другу заданным образом. Всякая другая точка Р первого многообразия лежит на дуге QQi, оканчивающейся в двух точках секущей поверхности. Точка Р делит дугу на две части QP и PQi. Обозначим отношение этих частей QP/PQi через а. Будем считать точки Р и Р соответствующими, если они лежат на соответствующих дугах QQi и QQ и имеют одинаковые а и а. Таким образом, устанавливается непрерывное преобразование одного многообразия в другое многообразие, переводящее кривые движения первого многообразия в кривые движения второго. [c.315] Применяемые здесь точечные преобразования только непрерывны. Таким образом, при этом способе доказательства мы пользуемся группой всех непрерывных точечных преобразований. [c.315] Эти соображения показывают, что все динамические свойства движений соответствуют свойствам преобразований секущих поверхностей. Таким образом, динамическая проблема сводится к проблеме преобразований плоскости вблизи неподвижной точки. Ясно также, что такое сведение произвольной динамической проблемы к проблеме преобразований всегда возможно но крайней мере вблизи периодического движения. [c.315] При этом каждая точка движется с составляющей скорости, равной единице, по оси г. Поэтому маленький цилиндр с основанием а в плоскости г = О и с постоянной маленькой высотой Ь должен все время иметь основание с одной и той же площадью. Произвольная площадь а в плоскости р, д должна поэтому равняться соответствующей площади а в плоскости г = 2тг, что и требовалось доказать. [c.316] Мы можем теперь дать несколько иную картину нашей проблемы на плоскости. В плоскости р, д каждая точка движется в каждый момент г с составляющими скорости —дН/дд, дН/др. Таким образом, определяется переменное течение на плоскости, которое такое же, как если бы плоскость т = с двигалась в направлении оси г со скоростью равной единице и каждая точка плоскости р, д оставалась бы на соответствующей кривой движения. Это переменное течение есть течение несжимаемой жидкости в плоскости, так как площадь всякой части остается постоянной. Мы видим также, что двумерное течение периодично с периодом 2тг. Ранее введенное преобразование Т имеет здесь следующий смысл. Точка Р жидкости, которая при г = О занимает положение р , ( о, будет через 2тг секунд находиться в рх, ( 1. [c.316] Поэтому кажется очевидным, что всякое однозначное, сохраняющее площади преобразование Т соответствует гамильтоновой проблеме типа (3). Этот факт сейчас же доказывается по крайней мере в том случае, когда функции, определяющие Т, равно как и все их производные, непрерывны, и функция Н того же рода (но, быть может, неаналити-чсская) . [c.317] Для динамических систем со многими степенями свободы соответствующее объемосохраняющее свойство таких преобразований Т не вполне характерно. [c.317] При этом допускаются все точечные преобразования, при которых соответствующие функции и все их производные непрерывны. Для исходной динамической проблемы прямые ро = О и до = О соответствуют двум семействам асимптотических движений. Все другие близкие движения приближаются к периодическому движению с тем, чтобы потом опять удалиться от него. [c.317] Вернуться к основной статье