ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Завершение доказательства из "Динамические системы " Перейдем теперь к вспомогательной плоскости, в которой г и являются прямоугольными координатами. Пусть точка А совершает полный обход в положительном направлении вокруг части полосы R, содержащейся между двумя параллелями к оси г. лежащими на расстоянии 2ж друг от друга. Ясно, что rot AAi при таком обходе равен нулю, так как на дугах кривых С и Г повороты равны нулю, а повороты, соответствующие двум другим частям контура, взаимно уничтожаются. [c.302] Очевидно, что этот контур содержит внутри себя каждую инвариантную точку только однажды. Поэтому полный поворот равен алгебраической сумме поворотов, соответствующих обходам вокруг каждой инвариантной точки в отдельности по маленьким контурам, окружающим эти точки . Но для простой инвариантной точки такой поворот по определению равен 2тг. Следовательно, имеются или по меньшей мере две различные инвариантные точки или же одна кратная инвариантная точка К с вращением . [c.302] В общем случае посредством этого рассуждения, нринадле каще-го Пуанкаре, из существования одной инвариантной точки следует существование второй. Доказательство же того, что всегда существует вторая инвариантная точка, отличная от первой, значительно сложнее предыдущего доказательства. [c.302] Мы допустим, что существует одна и только одна инвариантная точка К, и посредством небольшого обобщения нашего прежнего рассуждения покажем, что тогда получается противоречие. [c.302] Вместо того, чтобы рассматривать закрепленное положительное число 6, мы будем применять изменяющееся при переходе от одной радиальной полупрямой к другой. Выражение направленное наружу радиальное перемещение точки Р на величину, меньшую, чем 5 , относится теперь к значению 8 для радиальной полупрямой, проходящей через Р. При = О точка Р остается неподвижной. Очевидно, что и относительно такого переменного () ) могут быть определены -цепи и минимальные -цепи. [c.302] В нашем случае мы выберем малым и положительным, за исключением единственной радиальной полупрямой, проходящей через единственную инвариантную точку К. Далее, функцию , очевидно, можно взять непрерывно зависящей от и меньшей расстояний от Р до Т Р) и от Т Р) до К для всякой точки Р, лежащей на соответствующей радиальной полупрямой, причем эти расстояния измеряются на плоскости прямолинейных координат г и . [c.302] Лемма 1 по-прежнему имеет место для этого слегка видоизмененного типа -цепей, с той лишь разницей, что теперь внешняя граница кольца S может касаться круга С в точке пересечения этого круга с радиальной полупрямой, проходящей через К. Но при исключении второй возможности, указанной в формулировке теоремы, такой области Е не может существовать. Слсдоватсльпо, существуют конечная -цепь и минимальная -цень Ро Pi, , Рп, соответствующая рассматриваемой функции ( I ). [c.303] Исходя из этой минимальной цепи, мы можем построить вспомогательное преобразование Е, обладающее свойствами, указанными в лемме 2. [c.303] Тогда при рассмотрении преобразования ТЕ, как и раньше, получается последовательность колец СС, С С2,. .., с той лишь разницей, что теперь две границы какого-либо из них могут касаться друг друга в одной точке. [c.303] Теперь эта кривая может, однако, иметь двойные точки, так как последовательные кривые С. l, Сг,. .. могут иметь общие точки. В двойных точках вспомогательная кривая не пересекает самое себя. Она, разумеется, не может проходить через инвариантную точку К, лежащую вне последовательности колец. [c.303] Этим теорема установлена. [c.304] Простое обобщение приведенного рассуждения показывает, что либо существуют две инвариантные точки, для которых rot AAi отличен от О, или же существует бесконечное множество инвариантных точек. [c.304] Вернуться к основной статье