ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вспомогательная кривая. Лемма из "Динамические системы " Этот процесс, разумеется, кончился бы раньше, если какое-нибудь кольцо Сг-гСг г п) выходило из Д. Очевидно, однако, что все точки С0С1 принадлежат Мх, все точки С1С2 принадлежат М2 и т. д., так что все точки Сг-гС - принадлежат М и потому по самому определению минимальной -цепи не могут лежать вне Д. С другой стороны, Р на Сп лежит вне Д, так что часть кольца С 1С простирается вне Д. [c.297] На этом этапе удобно рассматривать г и как прямоугольные координаты точки на плоскости г, д. Из какого-либо избранного определения преобразования Т в этой плоскости все другие определения этого преобразования получаются посредством параллельного перемещения в направлении 1 на расстояние 2ктг к = 1, 2,. ..). Круг С переходит в прямую г = а, параллельную оси ч Г и Г1 оказываются незамкнутыми кривыми, лежащими над этой прямой и простирающимися бесконечно далеко направо и налево, тогда как Сг, С2,. .. делаются такими же кривыми, причем Сг лежит над Со, С2 над Сг и т. д. [c.297] В этой новой плоскости соединим точки Ро и Рг непрерывной дугой Р0Р1 без кратных точек, пересекающей ленту С0С1 и, исключая точки Ро и Р1, лежащей внутри этой ленты. [c.297] Чтобы установить эту теорему, очевидно, достаточно доказать, что если никакой области Е не существует, то должна существовать точка Р. [c.299] Теперь представим себе точку А, движущуюся по этой кривой от Ро к Qq. Ее образ при преобразовании ТЕ, которую мы обозначим через Ai, движется при этом от Pi к Q. В плоскости прямоугольных координат г, 1 , вектор AAi (рис. 12) вращается в течение этого процесса на определенный угол, который мы обозначим через voiAAi. [c.299] Для определенности допустим, что координата точек круга С увеличивается при преобразовании Т. Тогда согласно предположению координата д точек кривой F должна уменьшаться при Т. Если обозначить через а положительный острый угол, образуемый вектором PoPi с положительной осью 1 , а через /3 — лежащий между тг/2 и Зтг/2 угол, образуемый с этой же осью вектором QoQi, то ясно, что интересующий нас поворот либо равен /3 — а, либо отличается от /3 — а на целое кратное 2тг. Для последующего чрезвычайно важно установить, что этот поворот в точности равен (3 — а( ). [c.299] Предположим теперь, что вспомогательная кривая, преобразованная таким образом в кривую, пересекающую полосу а г с, подвергается дальнейшей деформации в этой полосе, причем точки Pq, Pi, Qo, Ql остаются закрепленными. Ясно, что благодаря непрерывности изменения rot AAi доказываемое равенство будет все время соблюдаться или все время нарушаться, если только кривая не приобретает при деформации кратных точек. [c.300] В этом нормальном положении пригодность выражения [3 — а для rot очевидна. Следовательно, и для исходной вспомогательной кривой оно пригодно, как бы сложна ни была эта кривая. [c.300] В силу неравенств, которым подчинены /3 и а, мы заключаем отсюда, что rotAAi положителен при движении точки А от Ро к Qo но вспомогательной кривой. [c.300] Поэтому угол поворота вектора, проведенного из точки А к ее образу Ах, при преобразовании Т = ТЕо, положителен, когда А движется по вспомогательной кривой Роб о- При непрерывном переводе вспомогательной кривой в какую-либо другую кривую, пересекающую кольцо Я, этот поворот должен изменяться непрерывно, или же мы придем к инвариантной точке и, следовательно, к только что упомянутому случаю. Этот угол поворота никогда пс равен нулю, так как согласно предположению теоремы вектор ААх имеет составляющую по оси положительную, когда А лежит на С, и отрицательную, когда А лежит на Г. Таким образом, полный поворот вектора ААх положителен вдоль всякой кривой, пересекающей Н. [c.301] Теперь необходимо отметить полную симметрию вхождения Т и Т в предположение и заключение -теоремы. Благодаря этому, мы можем принять обратное преобразование за основное, причем Я и 1, Г и Г1 просто поменяются ролями. Кроме того, преобразования Т передвигает точки кривых С и Г1, в противоположных направлениях отпоситсльпо . Для опрсдслсппости мы считали, что в плоскости прямоугольных координат г и преобразование Т передвигает точки кривой С вправо, а точки кривой Г влево. Следовательно, преобразование Т переводит в этой же плоскости точки кривой С влево, а точки кривой Г1 — вправо. [c.301] Но когда В пересекает Ях, В-х, разумеется, пересекает Я и В-х можно принять за точку А. Отсюда мы заключаем, что го1ААх отрицателен при движении точки А вдоль любой кривой, пересекающей Я. [c.301] Это нелепо, так как полный поворот вектора Ах А в точности равен повороту вектора ААх, положительному при тех же условиях согласно доказанному. [c.301] Следовательно, -теорема доказана. [c.301] Вернуться к основной статье