ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Дальнейшие свойства движений из "Динамические системы " То же заключение будет, очевидно, справедливым и для К = О, по крайней мере если 17 не приближается к нулю. Но это может случиться только в том случае, когда все три взаимных расстояния тел безгранично возрастают. [c.273] В случае, когда К f й, по крайней мере два, если не все три, взаимные расстояния тел безгранично увеличиваются при безграничном возрастании или убывании времени. В случае К О, / = О то же утверждение справедливо, если только движение не оканчивается в том или другом направлении времени) тройным соударением. [c.273] Желательно было бы, разумеется, более полное качественное рассмотрение движений, для которых К 0. Но и на основании только что сформулированных результатов мы можем рассматривать этот случай как решенный в качественном смысле. [c.273] В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением случая / О, К О, т.е. случая, когда не все константы площадей равны нулю и потенциальная энергия системы недостаточна для того, чтобы все три расстояния между телами могли безгранично возрастать. [c.273] Останется, таким образом, нерассмотренным случай / = О, ЛГ 0. В этом случае движение будет происходить существенно в одной плоскости, и здесь, быть может, посредством надлежащего уточнения неравенства Сундмана возможно получить результаты, подобные тем, которые получены для случал / О, К ). [c.273] Мы переходим к рассмотрению некоторых простых и важных свойств движения в случае / О, ЛГ 0. [c.273] В случае / О, К О наименьшее из трех расстояний между телами не может превзойти М /ЗК. [c.273] Числитель левой части не превосходит М /З, откуда непосредственно следует доказываемое неравенство. [c.274] Слсдоватсльпо, ссли К пс превосходит первого из выражений, указанных в формулировке доказываемого утверждения, то мы тотчас видим, что кх превосходит к. Это доказывает первую часть нашего утверждения. [c.275] Следовательно, если В не меньше второго из написанных в формулировке утверждения выражений, то ki будет больше к. Это доказывает вторую часть утверждения. [c.275] В этом случае R действительно возрастает, по крайней мере, до тех пор, пока не превзойдет величину р/2KRq. Кроме того, пока R остается f /2KRq, h остается не меньше Но- Из этого следует, что R в каждый момент не меньше выражения, указанного в формулировке доказываемой теоремы, так что теорема в этом случае справедлива. [c.276] Случай, когда R ф О всюду па нашей дуге, может быть исключен из рассмотрения. В этом случае Н должно убывать (или по крайней мере не возрастать) с убыванием R. Следовательно, R не может стремиться к нулю, потому что в этом случае Н делалось бы бесконечным. Когда R будет приближаться к своей нижней границе Rq, то R будет стремиться к нулю. Отсюда мы заключаем, что сформулированное неравенство для R остается справедливым, если Rq определено таким образом. [c.276] Следовательно, когда Ь стремится к бесконечности, а Д, Д стремятся к До, О соответственно, то Д будет стремиться к определенному положительному количеству, что невозможно. [c.277] Полученные до сих пор результаты можно рассматривать как касающиеся тех движений, при которых все три тела находятся и некоторый момент i = 0 близко друг к другу, причем их взаимное отдаление измеряется величиной Д. Тела будут отдаляться друг от друга, так что Д будет возрастать, и при этом весьма быстро (при условии, что Д не будет ни слишком велико, ни слишком мало) до тех пор, пока Д не станет очень большим. [c.277] Мы переходим теперь к выводу аналогичных результатов для того случая, когда по крайней мере одно из расстояний между телами велико. В этом случае удобно пользоваться величиной р вместо Д. Нужно при этом принимать во внимание, что в последующем изложении г обозначает все время наименьшее из трех расстояний. [c.277] При указанных условиях р будет по крайней мере вдвое превосходить расстояние Г2- Следовательно, го и Г1, превосходят гг, так как р есть расстояние от Р2 до центра тяжести тел Ро и Р1. Но, если го и г 1 превосходят Г2, то одно и то же расстояние Г2 все время остается наименьшим. [c.277] Вместо того, чтобы продолжать наше исследование аналитическим путем, заметим, что это неравенство можно рассматривать как равносильное требованию, чтобы частица двигалась вдоль оси р под действием силы, направленной к началу координат и не превосходящей силу тяжести, вызываемую массой, равной 8М. Но в этом случае очевидно, что частица будет удаляться в бесконечность при условии, что начальная скорость, направленная от начала координат, будет не меньше скорости при падении из бесконечности под действием притяжения такой массы. Но это как раз и есть то, что требуется доказать. [c.278] Нужно отметить, что поскольку начальное значение величины р не меньше, чем 2М ЪК, то р продолжает оставаться все время больше этой величины, и, следовательно, одно и то же расстояние г остается всегда наименьшим из трех расстояний. [c.278] Следовательно, мы показали, что гг равномерно ограничено. [c.279] Мы не будем останавливаться на получении аналитической формулы, дающей Ео, хотя полученные выше результаты дали бы нам достаточный материал для вывода этой формулы. [c.279] Вернуться к основной статье