ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Неограниченное продолжение движений из "Динамические системы " Предположим, что сталкиваются, например, тела Рд и Р1, тогда как Р2 находится от них на некотором расстоянии. Движение тел Ро и Р1 близ точки соударения будет, очевидно, существенно таково же, как в проблеме двух тел. Мы и хотим здесь пренебречь возмущающими силами, вызываемыми телом Р2 в течение того времени, когда тела Ро и Рх близки к соударению, т. е. заменить функцию и одним ее слагаемым тогпх1г2 и считать очевидным, что положение вещей будет при этом допущении существенно тем же, что и в рассматриваемом нами случае. [c.268] Очевидно, такое движение с соударением в проблеме двух тел характеризуется следующими величинами во-первых, тремя координатами точки соударения в пространстве во-вторых, тремя составляющими скорости центра тяжести системы в-третьих, двумя угловыми координатами 9, ф, определяющими направление в пространстве касательной к кривой движения точки Рх в точке столкновения, которое совпадает с направлением линии движения Рх относительно центра тяжести системы тел Ро и Рх и, в-четвертых, постоянной энергии. Таким образом, всего для того, чтобы однозначно характеризовать состояние системы в момент соударения в задаче двух тел, нужны девять координат. Но для того, чтобы определить состояние движения системы до или после соударения, необходимо еще указать время т вблизи момента столкновения. [c.269] всякое движение, при котором оба тела почти сталкиваются, может быть характеризовано подобным же образом. Здесь предполагается, что начальные условия несколько изменены в какой-то момент, предшествующий соударению. Легко обобщить на случай такого измененного движения вышеприведенные координаты следующим образом во-первых, вместо координат точки соударения мы можем взять координаты центра тяжести в момент, когда тела подходят ближе всего друг к другу во-вторых, соответствующие составляющие скорости центра тяжести могут быть взяты по-прежнему в-третьих, угловые координаты -д, ф могут относиться к направлению общей оси конических сечений, описанных телами относительно центра тяжести, и, в-четвертых, постоянная полной энергии может быть взята по-прежнему. Если мы незначительно изменим движение этим способом, то эти девять координат тоже изменятся незначительно. [c.269] К этим девяти координатам мы должны присоединить еще одну угловую координату ф, определяющую направление плоскости относительного движения тел и длину перигелия р. Всего, таким образом, мы получаем одиннадцать координат, достаточных для определения кривой движения двух тел в общем положении. Для того, чтобы определить какое-нибудь специальное состояние движения, ну кно к этим одиннадцати координатам прибавить еще время т, прошедшее с момента наибольшего сближения двух тел. [c.269] Координата р теряет смысл в частном случае кругового движения тел относительно центра тяжести, но этот случай не может иметь места в рассматриваемых движениях, когда тела почти сталкиваются. [c.270] Следовательно, мы получаем всего двенадцать координат, определяющих состояние движения, что, разумеется, соответствует тому факту, что в проблеме двух тел мы имеем систему дифференциальных уравнений двенадцатого порядка. [c.270] Новые координаты а, 3 будут уже совершенно произвольными. [c.270] Следовательно, в проблеме двух тел состояния движения вблизи какого-нибудь состояния соударения находятся в одно-однозначном непрерывном соответствии с окрестностью точки в двенадцатимерном пространстве. При таком представлении состояния движения при соударении составляют девятимерную поверхность, проходящую через данную точку. [c.270] Очевидно, что в известном смысле особенность соударения исчезает при применении указанных координат . [c.270] Для движений, близких к тому, нри котором происходит соударение. эти координаты допускают простое обобщение. Например, момент прохождения перигелия может быть определен, как такой, когда расстояние PqPi достигает своего минимума, и, таким образом, положение и составляющие скорости центра тяжести, координаты оси, длина перигелия могут быть определены немедленно, так же как постоянная энергии. За угловую координату ф можно взять угол, определяемый плоскостью, делящей пополам малый двугранный угол, образуемый плоскостями, проходящими через PqPx, и соответственно векторы скоростей тел Ро, Pi относительно их центра тяжести. Время т определяется, как прежде. Координаты р, ф могут быть, разумеется, заменены на а, /3, как выше. [c.271] Таким образом, из физических рассуждений становится очевидным, что двойное столкновение представляет собою особенность устранимого типа и что состояния движения при двойном соударении образуют три пятнадцатимерных (аналитических) подмногообразия в восемнадцатимерном многообразии Mis, соответствующих соударению Ро с Pi, Pl с Р2 U Ро с Р2. [c.271] Если мы к многообразию состояний движения присоединим части его границы, соответствующие двойному соударению, то, очевидно, возможно аналитически продолжать движение сколь угодно далеко, если только при приближении t к некоторому значению t (причем, например, t t) не имеет места бесконечное множество двойных соударений. Мы сейчас покажем, что этот случай невозможен, если только / О, как мы до сих пор предполагали. [c.271] Во-вторых, когда t приближается к I, наименьшее из расстояний Tj должно стремиться к нулю. В противном случае мы имели бы Гг с О (г = О, 1, 2) сколь угодно близко к t. Мы видели уже, что благодаря интегралу энергии из этого следовало бы, что все величины х, у, z, i, T], ( ограничены, так что было бы возможно продолжение движения без соударения в течение определенного промежутка времени, зависящего только от d. Но это невозможно. [c.272] В-третьих, Л должно стремиться к определенному пределу, когда t приближается к t это следует из равенства Лагранжа (15) совершенно так же, как в случае приближения к двойному соударению, поскольку обе величины R и R остаются непрерывными при двойном соударении. Исходя из неравенства Сундмана (20) и рассуждая так же, как прежде, мы покажем, что R не может стремиться к нулю, когда t приближается к t. [c.272] Отсюда мы заключаем, что, когда t приближается к I, тело Рг стремится к некоторому определенному предельному положению, отличному от соответствующего общего (тоже определенного) предельного положения тел Pq и Pi. Но физически очевидно и легко может быть показано аналитически, что в этом случае может быть только конечное число соударений при t t. Таким образом, мы приходим к противоречию. [c.272] В многообразии Mis состояний движения, к которым мы присоединили состояния при двойном соударении, возможно бесконечное продолжение в обоих направлениях времени каждого движения, для которого f 0. В случае / = О продолжение может стать невозможным только G случае тройного соударения. [c.272] До сих пор мы имели дело только с восемпадцатимерным многообразием Mis- Легко видеть, какие изменения нужно внести в формулировку вышеприведенных результатов для того, чтобы применить их к многообразию М12, которое получается, если мы рассматриваем только те движения, для которых центр тяжести системы тел Pq, Pi, Рг лежит в начале координат. В этом случае шесть координат, дающих положение и скорость центра тяжести тел Pq и Pi, определяют подобные же координаты для Рг. [c.272] Совершенно аналогичные результаты получаются для двенадцатимерного многообразия М12 тех состояний движения, для которых центр тяжести системы всех трех тел лежит в начале координат. [c.272] Вернуться к основной статье