ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Пример транзитивной динамической проблемы из "Динамические системы " Любая нсинтегрирусмая проблема транзитивного типа может, однако, считаться решенной , ссли для нее можио указать специальный алгоритм, достаточно могущественный для разрешения всех вопросов о типах и распределении движений. [c.240] Я собираюсь в этом параграфе построить такой алгоритм для транзитивной геодезической проблемы на специальной аналитической поверхности отрицательной кривизны. Представляется весьма вероятным, что полученные здесь результаты окажутся типичными во многих отношениях для общего случая транзитивной проблемы эти результаты легко обобщить на случай любой замкнутой аналитической поверхности отрицательной кривизны. Мы можем дать здесь только интуитивное обоснование полученных результатов. Что же касается техники, то мы можем отослать читателя к замечательным работам Адамара и Морса , методы и идеи которых играют главную роль в рассматриваемом здесь построении. [c.240] Представляется маловероятным, чтобы какой-нибудь подобный алгоритм существовал для геодезической проблемы на замкнутой аналитической поверхности положительной кривизны. [c.240] Следовательно, при любом гд, таком, что го 1, след данной поверхности на плоскости г = гд будет состоять и.ч выпуклого, симметричного, аналитического овала, лежащего внутри основного квадрата и имеющего свой центр симметрии в центре этого квадрата. Когда гд возрастает но абсолютной величине, этот овал аналитически расширяется, а при гд = 1 превращается в основной квадрат. Легко убедиться непосредственно или на основании вышеприведенных качественных рас-суждений, что эта поверхность всюду аналитическая и имеет отрицательную кривизну везде, кроме точек поверхности, соответствующих сторонам ограничивающих квадратов и г = 1. [c.241] Связность этой замкнутой поверхности легко определить. Если мы возьмем сс верхнюю половину г Ои присоединим к пей впутрепность экваториального овала, то убедимся, что верхняя половина нашей поверхности гомеоморфна поверхности тора с одним отверстием в ней. Нижняя половина будет, конечно, гомеоморфна верхней. Таким образом, вся наша поверхность гомеоморфна поверхности тора с ручкой, т. е. поверхности рода 2. [c.241] Основное свойство такой поверхности отрицательной кривизны состоит в том, что любые две заданные точки А, В могут быть соединены одной и только одной геодезической дугой АВ данного топологического типа. [c.241] Если мы применим полное изображение в пространстве х, у, г при помощи бесконечного количества копгруептных экземпляров этой поверхности, то этот результат означает, что любая непрерывная линия на поверхности, соединяющая А с В, может быть деформирована в единственную геодезическую дугу. [c.241] Предположим, что проекция точки А лежит внутри какого-нибудь квадрата нашей сети и что же имеет место для точки В. Когда точка Р движется вдоль АВ от АкВ, ее проекция описывает непрерывную кривую на плоскости ж, у. С другой стороны, если нам дана эта проекция и указано, в каких точках, лежащих на геодезических овалах, точка переходит с верхней половины поверхпости (где 2 0) на нижнюю (2 0), то этим путь АВ полностью определен. [c.242] Пусть символ X обозначает пересечение точкой Р вертикального отрезка нашей сети в направлении положительных х, а х — пересечение в противоположном направлении. Точно так же символами у и у мы обозначим пересечение горизонтального отрезка соответственно в положительном и отрицательном направлениях оси у. Далее, из какой-нибудь точки внутри квадрата достижимы, пе пересекая сторон квадрата, четыре квадранта геодезических овалов, а именно в левом нижнем углу, правом нижнем углу, правом верхнем углу и левом верхнем углу квадрата. Обозначим соответствующие переходы через точки этих овалов в направлении положительных 2 (т.е. с нижней стороны на верхнюю) через иог, ии2, 3, 4 соответственно, а переходы в противоположном направлении через ии соответственно. Очевидно теперь, что всякая дуга АВ соответствует символу, образованному конечной комбинацией этих двенадцати символов, написанных в том же порядке, в каком встречаются соответственные пересечения. Обратно, если дан любой такой символ (ограниченный единственным условием, что за всяким иц будет следовать, и наоборот), то ему соответствует сдинствсипый (с точностью до непрерывных деформаций) путь. Причиной указанного ограничения является то, что точка Р дви- кется из области 2 О в область 2 О и затем из области 2 О в область 2 0. [c.242] Каждой допустимой деформации пути АВ (причем А и В остаются, разумеется, фиксированными) будет соответствовать некоторая модификация символа. Символы, получаемые друг из друга таким способом, можно назвать эквивалентными . Совершенно очевидно, что необходимо найти условия эквивалентности двух систем и определить какую-нибудь нормальную форму для каждого класса эквивалентных символов. [c.243] Допустимые преобразования символов будут двух типов. Во-первых, мы можем вставить или исключить любую пару элементов вида аа или а а, так как это соответствует деформации пад овалом или отрезком. Во-вторых, мы можем заменить такой символ, как Юзу на yw2, или w y на yw , или W2y на y w , или на y w . [c.243] Эти изменения будут представлять собою преобразования символа, когда точка Р дуги АВ, лежащая па геодезическом овале, проходит при деформации через общую точку квадрантов W2 и Шз геодезического овала. Мы будем иметь подобные же преобразования в точке, общей квадрантам Wg, 4, в точке, общей квадрантам W4, Wi и в точке, общей квадрантам Wi, W2. [c.243] Для каждой из шестнадцати определенных выше операций второго типа существует по две соответствующие тройки вида р ицр или pw p , где р обозначает один из символов х, х , у, у , каждая из этих троек может быть заменена одним элементом wj или В-третьих, мы заменяем всякую тройку, подобную w yw на у. Для каждой из шестнадцати операций второго рода будет также по две соответственные тройки этого типа, могущие быть замененными одной буквой X, х , у или у . [c.243] После того, как это все проделано, мы везде, где только возможно, меняем порядок во всех парах, подобных y w (составленных из одного из элементов х, х , у, у , за которым следует Wi или w ), так, чтобы элемент wj (или w ) был на нервом месте. Так, например, y wz заменяется на W2y . [c.243] Мы будем доказывать для этого частного случая, что нормальная форма единственна, но метод доказательства будет, очевидно, совершенно общий. Первая компонента, очевидно, дает наименьшее число квадратов, которое может пройти проекция точки Р, дви кущаясп от Л к В вдоль пути этого типа, прежде чем она пересечет экваториальную плоскость. Следовательно, всякий другой нормальный символ для АВ должен иметь ту же первую компоненту. Подобно этому, вторая компонента указывает единственным образом наибольшее число переходов через плоскость г = О, которое может совершить точка Р, оставаясь все время в одном квадрате и никогда не пересекая дважды одного и того же геодезического овала. В данном случае имеется только один элемент у)2 во второй компоненте. Следовательно, вторая компонента будет Ю2 во всякой нормальной форме. [c.244] Вообще мы совершаем только необходимые переходы через стороны квадратов и геодезические овалы, причем эти последние производятся насколько возможно раньше. Такова будет геометрическая интерпретация операций, приводящих символ к нормальной форме, и это обстоятельство может послужить основой для доказательства единственности этой формы. [c.244] Для приведенного символа точки пересечения геодезической линии с вспомогательными линиями могут быть ассоциированы с соответственными элементами символа, а промежуточные точки мы можем указывать, вставляя обьн новенное вещественное число и (О м 1) между двумя последовательными элементами а, /9, указывая этим, что точка Р лежит на дробной части и пути от пересечения а до пересечения /9 по геодезической дуге. [c.245] Таким образом, мы получаем символы для состояния движения в нашей проблеме, присоединяя число и к полному приведенному символу. При непрерывном изменении состояния движения и будет изменяться непрерывно (если его рассматривать как периодическую переменную периода один). Соответствующее изменение самого символа будет непрерывным в том смысле, что малое изменение состояния движения мо кет вызвать лишь изменения в далеких элементах приведенного символа или ке допустимые перестановки порядка последовательных элементов. Соответствующее изменение в нормальном символе будет, вообще говоря, тоже непрерывным, но здесь компоненту вида иц слж. где с — данная группа элементов — нужно считать равной компоненте ксс... Оба конца, очевидно, меняются непрерывно, но никакие другие изменения порядка не должны нигде иметь место в символе. [c.245] Мы можем теперь рассмотреть вопрос о типах движений и их взаимоотношениях. [c.245] Прежде всего, периодические движения, соответствующие замкнутым геодезическим линиям, находятся, очевидно, в одно-однозначном соответствии со всеми нормальными типами конечных символов, если мы два символа, не отличающихся круговым порядком элементов, будем считать за один. Два периодических дви кения, соответствующих двум направлениям, в которых может быть пройдена одна и та же геодезическая линия, отвечают соответственно некоторому конечному символу и тому же символу, взятому в обратном порядке. Нормальным символом для полной геодезической линии будет, очевидно, этот частичный символ, повторенный бесконечное множество раз. Так как этот частичный символ может быть выбран по произволу, то соответствующее периодическое движение мы можем выбрать сколь угодно близко от произвольного геодезического движения. [c.245] Вернуться к основной статье