ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Неустойчивый случай. Асимптотические семейства из "Динамические системы " Во всякой такой области неустойчивости вокруг неустойчивого периодического движения устойчивою типа имеются два связных семейства движений, достигающих границы области, которые остаются все время внутри ее, если 1 соответственно безгранично возрастает или убывает. [c.230] Будем теперь все более и более уменьшать диаметр области а. Предельное замкнутое множество( ), полученное таким образом, связно содержит инвариантную точку и точки границы 8 и будет оставаться в 3 после любого числа повторений преобразования Т . Если мы повторим это же рассуждспис, по заменив Т па Т , то получим второе подобное ке мпо кество, остающееся внутри 3 при всех последовательных повторениях преобразования Т. Очевидно, что эти два связных множества соответствуют двум связным семействам движений, обладающих указанными свойствами. [c.231] Сделаем теперь дополнительное предположение, что наше периодическое движение принадлежит к общему устойчивому типу, имеющему переменные периоды в формальных рядах. В этом случае мы уже видели, что преобразование Т изменяет направления касательных к какой-либо кривой против часовой стрелки по отпошепию к направлению радиуса-вектора, за исключением касательных направлений, почти перпендикулярных к направлению радиуса-вектора. [c.231] Возвращаемся к виду на S. Множество Е должно бесконечно завиваться вправо вокруг неподвижной точки, начиная от точки его псрсссчсния с границей S. Чтобы установить этот факт, целесообразно рассматривать полярные координаты и г как прямоугольные координаты, причем ось направлена налево, а ось г вверх. Тогда поверхность S представится в виде бесконечной полосы, и область этой полосы, расположенная вправо и выше связного множества Е ,, пе мо- кет простираться налево от той точки Е , которая лежит на границе S иначе, очевидно, имелись бы недостижимые области исключенного типа. [c.232] Если бы далее Е не простиралось неограниченно вправо, то оно при этом представлении было бы целиком заключено между двумя вертикальными прямыми. Но результаты 2 гл. VI показывают, что две точки, из которых одна лежит на оси г = О, а другая вблизи нее, движутся в направлении оси i) со скоростями столь различными, что могут разойтись на сколь угодно большое расстояние. Поэтому при достаточном повторении преобразования Т кривая Е (все образы которой при преобразовании Т лежат внутри S) распространится на полосу, сколь угодно широкую в направлении и, таким образом, пересечет Е . Итак, Е и ее образ ограничат область, которая останется внутри S при всех повторениях преобразования Т . Ио это приведет пас так же, как прежде, к инвариантной области т. Следовательно, Е , распространяется бесконечно далеко в направлениях отрицательных Отсюда следует, что Е оборачивается бесконечное множество раз вокруг инвариантной точки в направлении часовой стрелки, в то время как Ei оборачивается бесконечное число раз в противоположном направлении. Отсюда очевидно, что множества Е и Е должпы пересекаться бесконечное множество раз. [c.232] Мы можем резюмировать эти заключения следующим образом. [c.233] Семейства и движений оборачиваются бесконечно много раз по или против часовой стрелки соответственно вокруг периодического движения, в зависимости от того, достижимы ли они слева или справа и, таким образом, пересекаются в бесконечном множестве общих движений. Движения, принадлежащие Е и Е , являются соответственно отрицательно и положительно асимптотическими к данному периодическому движению, тогда как бесконечно многие общие движения являются асимптотическими в обоих направлениях к данному периодическому движению. [c.233] Соображения, совершенно аналогичные приведенным выше, можно применить к любой зоне неустойчивости. Будут существовать положительно и отрицательно асимптотические связные множества, начинающиеся па одной из границ и достигающие любой окрестности другой границы зоны. Оба множества пересекаются бесконечное множество раз. Кроме того, рассуждениями, аналогичными тем, которые применяются в следующем параграфе, можно доказать, что множество, положительно асимптотическое к одной границе, нсресскаст множество, отрицательно асимптотическое к другой. Поэтому должио существовать бесконечное множество движений, положительно и отрицательно асимптотических к двум границам в любой из четырех возможных комбинаций. [c.233] Вернуться к основной статье