ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приложение к исключительному случаю из "Динамические системы " Для того, чтобы сделать рассуждение насколько возможно конкретным, мы остановим свое внимание на случае обратимой геодезической проблемы, хотя будет очевидно, что то же рассуждение можно применить к любой лагранжевой проблеме рассматриваемого типа, имеющей характеристическую поверхность, гомеоморфную гиперсфере. [c.143] Теперь представим себе, что это покрытие непрерывно деформируется. Этим мы хотим сказать, что все точки, непрерывно изменяясь, переходят в близкие точки, причем кривые покрытия переходят в новые кривые. Очевидно, что такое покрытие будет всегда действительно покрывать каждую точку по крайней мере однажды и не может свестись к точке1(1°). [c.144] В этом случае состоящие из одной точки окружности находятся в однооднозначном соответствии с (та — 2)-мерной гиперсферой. [c.144] Изображение этой системы кругов дает аналитическое покрытие нашей характеристической поверхности М. [c.144] Точки покрытия могут быть определены надлежащими координатами, и мы можем так же, как для двумерной поверхности, непрерывно деформировать это покрытие. Очевидпо, что такое покрытие всегда будет покрывать каждую точку поверхности М по крайней мере один раз(Ч). [c.144] Начатый таким образом процесс последовательного деления кривых покрытия на п частей и деформации покрытия может быть продолжен до бесконечности. В каждой данной стадии его отдельные геодезические дуги, из которых состоят кривые покрытия, имеют длину меньше, чем (1, а длины самих кривых покрытия пе превосходят Ь. Кроме того, результатом каждого шага будет уменьшение (или по крайней мере не увеличение) длины кривой. [c.145] В связи с этим последним рассуждением нужно заметить, что в каждой стадии производимых памп преобразований совокупность точек Р является аналитическим (т — 1)-мсрным многообразием, и потому не возникает никаких трудных теоретико-множественных вопросов, связанных с размерностью. [c.146] Таким образом, максимальная длина Ьр кривых -гo покрытия уменьшается (или по крайней мере не увеличивается) с увеличением р и стремится к положительному пределу Ь с1. [c.146] Из этой леммы сразу следует доказываемое утверждение. В самом деле, если бы все внешние углы во всех вершинах ломаных, состоящих из геодезических дуг, не стремились равномерно к нулю, то длины кривых нашей последовательности бесконечное число раз уменьшались бы больше чем на некоторое определенное положительное число, что, разумеется, невозможно. Следовательно, эти внешние углы стремятся к нулю. Но точки имеют, по крайней мере, одну предельную точку Рх, и направления геодезических дуг имеют предельное направление, в силу чего существует предельная геодезическая линия, которая, разумеется, будет замкнута и как раз длины Ь. [c.147] Если т-мерная характеристическая поверхность М гомеоморфна т-мерной гиперсфере, то существует, по крайней мере, одно периодическое движение, получаемое вышеприведенным процессом. [c.147] Естественно ожидать, что такое движение будет минимаксного типа, но мы не будем заниматься этим вопросом. В простейшем случае двух степеней свободы это предположение оказывается правильным. [c.147] Вернуться к основной статье