ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод минимакса из "Динамические системы " Вышеприведенное изложение интуитивно. Можно, однако, этот метод изложить вполне строго . [c.142] В более общем случае мы приходим к следующему заключению. [c.142] Лагранжева проблема, подчиненная прежним условиям (см. 3) и имеющая к 1 периодических движений минимального типа, эквивалентных замкнутой кривой I, будет непременно обладать еще по крайней мере к — 1 периодическими двшкениями минимаксного типа, эквивалентными той же кривой. [c.142] Если мы исключим из рассмотрения все особые случаи и ограничимся интуитивным способом рассуждения, то мы можем следующим образом сделать это более общее положение вероятным. Пусть 1 ,. .., 1к будут значения интеграла I вдоль к периодических движений минимального типа, существование которых мы предполагаем, и пусть I будет настолько большим числом, что мы можем непрерывной деформацией кривой I перейти от какой-нибудь из соответствующих кривых 1, к любой другой так, чтобы интеграл I на I все время оставался бы меньше I. Для определенности предположим, что 1х, . 1к расположены в порядке возрастания их величины. [c.142] Пусть и будет переменный параметр и рассмотрим замкнутые кривые I данного типа, для которых I и. Пока и 1х (абсолютный минимум), таких кривых не будет совсем, но если и будет увеличиваться, становясь больше /1, то появляются кривые, сначала мало отличающиеся от /1. Но чем больше становится и, тем большие отклонения от кривой /1 делаются возможными для I. Точно так же, когда и становится больше 12, появляется новая изолированная совокупность кривых I в окрестности кривой 2. И, в конце концов, когда и делается больше 1и, появляется последняя к-я совокупность кривых в окрестности кривой //.. [c.142] с другой стороны, при возрастании и какие-нибудь две из имеющихся совокупностей кривых могут соединиться в одну, т.е. может стать возможным деформировать кривую в кривую так, чтобы интеграл I вдоль кривой I все время оставался меньше и. Следовательно, будем иметь наименьшее значение и, для которого это возможно, и соответствующее периодическое движение типа минимакса. Каждый раз, когда происходит такое соединение, число изолированных совокупностей кривых I, имеющих I /,, уменьшается на единицу. [c.142] Но когда и = I, то существует только одна такая совокупность, так что имеет место к — 1 соединение. Следовательно, существует к — 1 минимаксных периодических движений, что и требовалось доказать. [c.143] Нетрудно показать, что, за исключением того случая, когда периодическое движение типа минимакса кратное( ), только две совокупности кривых могут совпасть для одного из этих критических значений и. [c.143] Если характеристическая поверхность допускает дискретные преобразования в себя, то возникает исключительный случай, при котором периодические движения минимального типа должны считаться каждое больше чем один раз. Таков именно вышеупомянутый случай геодезических линий на торе. [c.143] Отметим, что когда мы рассматриваем какую-нибудь замкнутую кривую I как описанную к раз (к 1), движения минимального типа остаются теми же, тогда как движения типа минимакса, связанные с ними, не будут теми же, что при f = 1, а будут отличны от них. [c.143] Общее положение требует дальнейшего изучения. [c.143] Вернуться к основной статье