ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Обратимость и полная устойчивость из "Динамические системы " Мы будем говорить, что данная система (5), имеющая в начале координат точку обобщенного равновесия, обратима , если при замене Ь па — вновь полученная система эквивалентна первоначальной по отношению к преобразованиям формальной группы. [c.124] Следовательно, если какая-нибудь система (5) обладает устойчивостью первого порядка, то необходимым условием полной устойчивости такой системы будет обратимость ее в смысле вышеприведенного определения. [c.125] Остается только показать, что это простое необходимое условие является также достаточным. [c.125] По нашему предположению эти новые уравнения эквивалентны первоначальным уравнениям (7). Заметим теперь, что уравнения (8) имеют тот же вид, что и (7), с той только разницей, что и гц обменялись ролями и функции —17,, —Уг заменяют прежние У, 11,. [c.126] Для доказательства того, что формулы (9) дают самый общий вид преобразований, сохраняющих нормальный вид, мы будем в формулах таких преобразований рассматривать последовательно члены первой, второй и т. д. степени. [c.126] Подобным же образом с равно нулю и (1 постоянная сопряженная с а(25). [c.127] Следовательно, ряды, дающие преобразования для переменных гц к новым Ту. , имеют требуемые линейные члены. [c.127] Разумеется, з может быть представлено подобной же формулой, причем общим множителем, содержащимся во всех членах, является теперь ГЦ. [c.128] Кроме того, по вышеприведенным соображениям постоянное слагаемое Pi в li есть вещественное положительное число( ). Легко показать теперь, что решения уравнений (10) и (11) могут быть связаны соотношением (12) только в том случае, если W = 0. [c.129] Если для какой-нибудь системы имеет место устойчивость первого порядка, то обратимость является необходимым и достаточным условием полной устойчивости обобщенного равновесия. [c.130] Случай обычного равновесия, разумеется, еще проще, чем только что рассмотренный случай обобщенного равновесия, и для него получаются результаты, вполне аналогичные изложенным выше. [c.130] Вернуться к основной статье