ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Возможные типы особых, и неособых траекторий из "Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости " Пусть — какая-нибудь положительная полутраектория, выделенная на траектории Ь. В дальнейшем рассматривается е-окрестность полутраектории. Эта окрестность, как легко видеть, непременно содержит е-окрестность предельного множества этой полутраектории. [c.51] Теорема 8. Если у траектории Ь хотя бы одна положительная полутраектория орбитно-устойчива, то всякая другая положительная полутраектория, выделенная из этой траектории, такоюе будет орбитно-устойчивой. [c.51] Траектория Ь называется тогда а-орбитно-устойчивой или орбитно-устойчивой при i - + оо. [c.51] Полутраектории илп траектории, не являющиеся орбитноустойчивыми прп + оо называются орбитно-неустойчивыми при 4 + оо или а -орбитно-неустойчивыми. [c.51] Если траектория Ь орбитно-неустойчива при i Н- оо и М — какая-нибудь ее точка, то всегда можно указать такое ео О, что при любом сколь угодно малом б О найдется траектория Ь, проходящая при i = о через точку б-окрестности точки М и заведомо выходящая при некоторо.м i = Г из Ео-окрестности полутраектории Ь. [c.51] Отметим, что наличие орбитно-неустойчивых траекторий ни в какой мере не противоречит теореме о непрерывной зависимости от начальных значений, так как в этой теореме рассматривается лить конечный промежуток значений г, а в понятиях орбитно-устойчивости и неустойчивости фигурируют все значения г от io до о°. [c.51] Таким образом, особая траектория, не являющаяся состоянием равновесия, непременно орбитно-неустойчива хотя бы в одну сторону , т. е. она может быть орбитно-неустойчивой при i +о°, или орбитно-устойчивой при i — оо, или орбитно-неустойчивой и при i -Н оо и при i — оо Ч). [c.52] Свойство орбитной устойчивости и неустойчивости полутраектории и траектории характеризует поведение этой полутраектории или траектории не самой по себе, а по отношению к близким полутраекториям и траекториям. [c.52] Теорема 9. Если разбиения на траектории, заданные двумя динамическими системами в ограниченной области С, тождественны, т. е. существует топологическое отображение области в себя, при котором траектории этих систем отображаются друг в друга, то орбитно-устойчивые полутраектории отображаются в орбитно-устойчивые, а орбитно-неустойчивые — в орбитно-неустойчивые. [c.52] Теорема 10. Всякая траектория, являющаяся предельной для какой-либо отличной от нее траектории, является особой, т. е. орбитно-неустойчивой. [c.52] Действительно, если траектория Ьо является со-предельной для отличной от нее траектории Ь, то в случае, когда Ьо — состояние равновесия, на Ь заведомо существуют точки, находящиеся на не равном нулю расстоянии от Ьо, а в случае, когда Ьо не является состоянием равновесия, то на Ь также существуют точки, лежащие на не равном нулю расстоянии от Ьо (в силу теоремы 5), т. е. траектория Ь либо при возрастании 1, либо при убывании i выходит из некоторой ео-окрестности Ьо. [c.52] Теорема 11. Незамкнутая полутраектория имеющая среди своих предельных точек отличные от состояния равновесия, орбитно-устойчива. [c.53] Теорема 12. Замкнутая траектория Ь является орбитноустойчивой тогда и только тогда, когда через точки сколь угодно малой ее окрестности, лежащие как внутри Ь, так и вне Ь, проходят отличные от Ь замкнутые траектории так что траектория Ь не является предельной ни для одной незамкнутой траектории). [c.53] Полутраектория Ь , стремящаяся к состоянию равновесия, является орбитнонеустойчивой в том и только в том случае, когда существует отрицательная полутраектория Ь , стремящаяся при I к тому же состоянию равновесия, которая вместе с полутраекторией ограничивает седловую область (рис. 27). [c.53] Орбитно-неустойчивая полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия (безразлично, простому или сложному), называется сепаратрисой. В случае, когда сепаратриса является положительной полутраекторией, она называется а-сепаратрисой в случае, когда она является отрицательной полутраекторией,— а-сепаратрисой. [c.53] К числу особых траекторий причисляются все состояния равновесия (даже в том случае, когда они орбитно-устойчивы, как, например, в случае, когда состояние равновесия есть центр). [c.53] Вернуться к основной статье