ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Параметрический резонанс в системах со многими степенями свободы из "Математические методы классической механики " Отображение за период, полученное из системы уравнений Гамильтона с периодическими коэффициентами, является симплектическим. Исследование параметрического резонанса в системах с одной степенью свободы, проведенное в 25, опиралось на анализ поведения собственных чисел сим-лектических преобразований плоскости. [c.197] В настоящем параграфе проведен аналогичный анализ поведения собственных чисел линейных симплектических преобразований фазового пространства любого числа измерений. Результаты этого анализа (принадлежащего М. Г. Крейну) применяются при исследовании условий возникновения параметрического резонанса в механических системах со многими степенями свободы. [c.197] Симплектические матрицы. Рассмотрим линейное преобразование симплектического пространства 5 Пусть Ри , Рп1 Яи Яп — симплектическая система координат. В этой системе координат преобразование задается матрицей 5. [c.197] Следствие. Если К — собственное число симплектического преобразования, то ПК — также собственное число. [c.198] С другой стороны, характеристический полином веществен поэтому, если К — комплексное собственное число, то К — собственное число, притом не совпадающее с Я. [c.198] Нетрудно сообразить, что кратности всех четырех точек четверки (или обеих точек пары) одинаковы. [c.199] Задача. Докажите, что если хотя бы одно иа собственных чисел симплектического преобразования 8 лежит не на единичной окружности, то 8 неустойчиво. [c.199] У казание. Ввиду доказанной симметрии, если хоть одно из собственных чисел лежит не на единичной окружности, существует собственное число вне единичного круга ( X ] 1 в соответствующем инвариантном подпространстве 8 — растяжение с поворотом . [c.199] Задача. Докажите, что если все собственные числа линейного преобразования различны и лежат на единичной окружности, то преобразование устойчиво. [c.199] Указание. Перейти к собственному базису. [c.199] Определение. Симплектическое преобразование 5 называется сильно устойчивым, если всякое достаточно близкое к нему ) симплектическое преобразование 5 устойчиво. [c.199] Теорема. Если все 2п собственных числа симплектического преобразования 8 различны и лежат на единичной окружности, то преобразование 8 сильно устойчив. [c.199] все корни 5 лежат на единичной окружности и различны значит, 5 устойчиво, что и требовалось доказать. [c.199] Оказывается, собственные числа Я, ] Я = 1, делятся на два класса положительные и отрицательные. При столкновении двух корней одинакового знака корни проходят друг сквозь друга и не могут сойти с единичной окружности. Напротив, два корня разных знаков при столкновении, вообще говоря, покидают единичную окружность. [c.200] Теория М. Г. Крейна выходит за рамки этой книги, но здесь будут сформулированы основные результаты в виде задач. [c.200] Задача. Пусть К, к — простые (кратности 1) собственные числа симплектического преобразования S и X = 1. Докажите, что соответствующая Я,, К двумерная инвариантная плоскость я ненулевая. [c.200] Пусть I — вещественный вектор из плоскости я , Im Я О, А, = 1. Собственное число Я, называется] положительным, если [S , Ц 0. [c.200] Задача. Докажите, что это определение корректно, т. е. не зависит от выбора вектора О в плоскости Я) . [c.200] У казание. Если бы плоскость содержала два косортогональных неколлинеарных вектора, она была бы нулевой. [c.200] Вернуться к основной статье