ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Внешнее дифференцирование из "Математические методы классической механики " ЭТИ параллелепипеды заменяются параллелепипедами в касательном пространстве, сумма значений формы на параллелепипедах касательного пространства стремится к интегралу при измельчении разбиения. Рассмотрим вначале частный случай. [c.159] Интеграл Л -формы в -мерном ориентированном евклидовом пространстве R. Пусть х ,. . — ориентирующая система координат в R . Тогда всякая А-форма в R пропорциональна форме dxi Д. . . Д dx , т. е. имеет вид ш = ф х) dx Д. . . . . Д dx , где ф х) — гладкая функция. [c.159] Такое определение является реализацией намеченного выше замысла, так как в рассматриваемом случае касательное пространство к многообразию отождествляется с многообразием. [c.159] Задача 1. Докажите, что ш зависит от ш линейно. [c.159] В общем случае (А-форма в п-мерном пространстве) отождествить элементы разбиения с касательными параллелепипедами не так просто ниже мы сведем этот случай к рассмотренному. [c.160] Поведение дифференциальных форм при отображениях. Пусть / М — N — дифференцируемое отображение гладкого многообразия М в гладкое многообразие N п ы — дифференциальная к-форма на N (рис. 149). [c.160] Иными словами, значение формы / о) на векторах. . ., равно значению формы ш на образах этих векторов. [c.160] Задача 3. Докажите, что / ш есть /с-форма на М. [c.160] Задача 5. Пусть Ь М — дифференцируемое отображение. Докажите, что аи) = е /. [c.160] Интегрирование Л -формы на и-мерном многообразии. Пусть 0 — дифференциальная й-форма на к-мерном многообразии М. [c.160] Пусть в — ограниченный вьшуклый /с-мерный многогранник в /с-мерном евклидовом пространстве К (рис. 150). [c.161] Л-мерный кусок, отличающийся от ст лишь выбором ориентации Ор, называется противоположным ст и обозначается—ст или—1-ст (рис. 151). [c.161] Множество / В) не обязательно является гладким подмногообразием М. Оно может иметь самопересечения , любые складки и вырождаться даже в точку. Однако уже в одномерном случае ясно, что неудобно ограничиваться контурами интегрирования, состоящими из одного куска полезны также контуры, составленные из нескольких кусков, которые могут проходиться в ту или иную сторону по нескольку раз. Аналогичное понятие в многомерном случае называется цепью. [c.161] Пример граница многогранника. Пусть В — ориентированный, выпуклый /с-мерный многогранник в /с-мерном евклидовом пространстве Границей D называется к — 1-мерная цепь дВ в R , определенная следующим образом (рис. 152). [c.162] Правило ориентации граней. Пусть. . . [c.162] Очевидно, дсу есть к — 1-цепь на М ). [c.163] Задача 10. Доказать, что граница границы любой цепи равна нулю ддск = 0. [c.163] Указание. Ввиду линейности д достаточно доказать ддВ = О для выпуклого многогранника В. Остается проверить, что каждая к — 2-мерная грань В входит в цепь ддВ дважды с разными знаками. Это достаточно проверить для к = 2 (плоские сечения). [c.163] Задача ш по цепям Сд в прямую. [c.163] Каждая 2-форма в М также соответствует некоторому полю А (ш = = где (I, ч) = (А, I, ч)). [c.164] Вернуться к основной статье