ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Твердое тело из "Математические методы классической механики " Решение этой задачи объясняет , почему большие реки Северного полушария (например, Волга в среднем течении) подмывают в основном правый берег, в то время как на реках типа Москвы-реки с их крутыми излучинами малого радиуса кривизны подмывается попеременно то левый, то правый (внешний по излучине) берег. [c.119] В этом параграфе определяются твердое тело и его тензор инерции, эллипсоид инерции, моменты инерции и оси инерции. [c.119] Конфигурационное многообразие твердого тела. [c.119] Теорема. Конфигурационное многообразие твердого тела есть шестимерное многообразие, а именно R X S0(3) (прямое произведение трехмерного пространства R м группы 80(3) его вращений), если только в теле есть три точки не на одной прямой. [c.119] Задача. Найти конфигурационное пространство твердого тела, все Точки Которого лежат на прямой. [c.119] Определение. Твердое тело с неподвижной точкой О есть система материальных точек, стесненных, кроме связей (1), связью Xi = 0. [c.119] Очевидно, его конфигурационное многообразие — трехмерная группа вращений 80(3). [c.119] Законы сохранения. Рассмотрим задачу о движении свободного твердого тела по инерции, вне силовых полей. Примером (приближенно) может служить кувыркание космического аппарата. [c.120] Теорема. При свободном движении твердого т ла его центр инерции движется равномерно и прямолинейно. [c.120] Но тогда мы можем рассмотреть инерциальную систему координат, в которой центр инерции неподвижен. Итак, получено Следствие. Свободное твердое тело вращается около центра инерции так, как если бы центр инерции был закреплен в неподвижной точке О. [c.120] Тем самым задача сведена к задаче с тремя степенями свободы о движении твердого тела вокруг неподвижной точки О. Исследуем подробнее эту задачу (не обязательно предполагая, что О есть центр инерции тела). [c.120] Теорема. В задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки О при отсутствии внешних сил имеется четыре первых интеграла М , Му, М , Е. [c.120] Из этой теоремы можно без всяких вычислений получить качественные выводы о движении. [c.120] Поэтому многообразие допускает касательное векторное поле (а именно, поле скоростей движения на Т 80(3)) при С О это поле не может иметь особых точек. Далее, легко проверить. [c.120] В топологии доказьшается, что все связные ориентируемые компактные двумерные многообразия суть сферы с п ручками, п 0 (рис. 113). [c.121] Из них только тор (п = 1) допускает касательное векторное поле без особых точек. [c.121] инвариантное многообразие есть двумерный тор (или несколько торов). [c.121] Мы увидим в дальнейшем, что на этом торе можно так выбрать угловые координаты ф , фг (mod 2я), что движение изображающей точки по V будет задаваться уравнениями 1 = (с), ф2 = Шг (с). [c.121] Иными словами, вращение твердого тела представляет собой наложение двух периодических движений с разными, вообще говоря, периодами если частоты и Шг несоизмеримы, то тело никогда не возвращается к пройденному состоянию движения. Величины частот и Шг зависят от начальных условий с. [c.121] Вернуться к основной статье