ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Линеаризация из "Математические методы классической механики " Поскольку линейные уравнения легко решать и исследовать, теория линейных колебаний является самым разработанным отделом механики. Бо многих нелинейных задачах линеаризация приводит к удовлетворительному приближенному решению. Даже когда это не так, исследование линеаризованной задачи часто является первым шагом при изучении соответствия движений нелинейной системы и ее линейной модели. [c.90] Здесь дано определение малых колебаний. [c.90] Уравнение Лагранжа можно записать в виде системы 2п уравнений первого порядка вида (1). Постараемся найти положения равновесия. [c.90] Устойчивость положений равновесия. Займемся теперь исследованием движений при начальных условиях, близких к положению равновесия. [c.91] Теорема. Если точка есть строгий локальный минимум потенциальной энергии II, то положение равновесия д = Яо устойчиво по Ляпунову. [c.91] Задача. Докажите, что в аналитической системе с одной степенью свободы положение равновесия О о не являющееся точкой строгого локального минимума потенциальной энергии, неустойчиво по Ляпунову. Приведите пример бесконечно дифференцируемой системы, где это не так. [c.91] Замечание. Кажется правдоподобным, что в аналитиче-кой системе с п степенями свободы положение равновесия, не являющееся точкой минимума, неустойчиво, но это не доказано. [c.91] Задача. Докажите, что линеаризация — корректно определенная операция оператор А не зависит от системы координат. [c.92] Линеаризация лагранжевой системы. Обратимся снова к лагранжевой системе (2) и постараемся ее линеаризовать в окрестности положения равновесия q = q . Для упрощения формул выберем координаты так, чтобы q = 0. [c.92] Как мы знаем из фазового портрета, при близких к д = до, р = О начальных условиях решение периодично, с периодом т, зависящим, вообще говоря, от начальных условий. [c.93] Определение. Движения в линеаризованной системе (Lg — Tz — Uz) называются малыми колебаниями ) вблизи положения равновесия q = д . В одномерной задаче числа Тр, o называются периодом малых колебаний и частотой малых колебаний. [c.93] Пример. Найти период малых колебаний бусинки массы 1 на проволоке у = U (х) в поле тяжести с g = 1 вблизи положения равновесия х = Xq (рис. 77). [c.93] Вернуться к основной статье