ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Лиувилля из "Математические методы классической механики " Фазовый поток гамильтоновых уравнений сохраняет фазовый объем. Отсюда вытекает, например, что устойчивость в гамильтоновой системе не может быть асимптотической. [c.64] Рассмотрим для простоты случай, когда функция Гамильтона времени явно не содержит Н = Н р, q). [c.64] Определение. 2п-мерное пространство с координатами Pi,. . ., Рп , qi,. . ., q называется фазовым пространством. [c.65] Пример. В случае ге = 1 это — фазовая плоскость системы f = --, рассмотренной в 4. [c.65] Так же, как в этом простейшем примере, правые части уравнений Гамильтона задают векторное поле в каждой точке р, q) фазового пространства приложен 2п-мерный вектор (—dHIdq, дН1др). Предположим, что каждое решение уравнений Гамильтона можно продолжить на всю ось времени ). [c.65] Задача. Доказать, что g — группа. [c.65] Мы докажем несколько более общее предложение 2), также принадлежащее Лиувиллю. [c.65] Воспользуемся теперь известным алгебраическим фактом. [c.66] Теорема Лиувилля 1) доказана. [c.67] Теорема Лиувилля имеет многочисленные приложения. [c.67] Задача. Доказать, что в гамильтоновой системе невозможны асимптотически устойчивое положение равновесия и асимптотически устойчивый предельный цикл в фазовом пространстве. [c.67] Особенно важные приложения теорема Лиувилля имеет в ста тистической механике. [c.67] Теорема Лиувилля позволяет применять к исследованию механических систем методы так называемой эргодической теории ). Приведу лишь простейший пример. [c.67] Теорема Пуанкаре о возвращении. Пусть д — сохраняющее объем непрерывное взаимно однозначное отображение, переводящее ограниченную область В евклидова пространства в себя дВ = В. [c.67] Тогда в любой окрестности II любой точки области В найдется тачка х, которая возвращается в область 11, т. е. е V при некотором п 0. [c.67] Несколько парадоксальным выводом из теорем Пуанкаре и Лиувилля является следующее предсказание если открыть перегородку, разделяющую камеру с газом и камеру с вакуумом, то через некоторое время молекулы газа почти наверное снова соберутся в первой камере (рис. 50). [c.67] Разгадка парадокса в том, что некоторое время больше вре мени существования Солнечной системы. [c.68] Тогда X и, е 7 п — к — I), что и требовалось доказать. Д. Приложения теоремы Пуанкаре. [c.68] Пример 1. Пусть В — окружность, —поворот на угол а. Если а=2п- ,то — тождественное преобразование, и теорема очевидна. [c.68] Пример 2. Пусть В — двумерный тор, ф1 и фг — угловые координаты на нем (широта и долгота) (рис. 53). [c.68] Вернуться к основной статье