ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Соображения подобия из "Математические методы классической механики " В некоторых случаях важную информацию можно получить, не решая уравнений движения, из одного их вида, используя так называемые соображения подобия и размерности. Суш,ность этих соображений состоит в таком подборе изменения масштабов (времени, длины, массы и т. д.), при котором уравнения движения сохраняют свой вид. [c.50] Если уменьшить массу точки в четыре раза, то она сможет пройти ту же орбиту в том же силовом поле вдвое быстрее ). [c.50] Доказать, что если кривая у есть орбита движения, то гомотетичная кривая ау также есть орбита (при соответствующих начальных условиях). Определить отношение времен обращения по этим орбитам. Вывести отсюда изохронность колебаний маятника (V = 2) и III закон Кеплера (V = —1). [c.50] Задача. Считая, что радиус планеты в а раз меньше радиуса Земли, а масса в Р раз меньше, найти, во сколько раз ускорение силы тяжести, а также первая и вторая космические скорости на ней меньше, чем на Земле. [c.50] Например, для Луны а ж 3,7, Р 81. Следовательно, ускорение сипы тягкести составляет примерно 1/6 земного (у ж 6), а космические скорости — примерно 1/5 земных (6 4, 7). [c.50] Прямо пропорционально Ь. [c.50] Решение. Запас воды пропорционален объему тела, т. е. испарение же — плош ади поверхности, т. е. Поэтому максимальное время пробега от одного источника до другого прямо пропорционально Ь. [c.50] Заметим, что максимальное расстояние, которое может пробежать животное, также растет пропорционально I. (см. следующую задачу). [c.50] Сипа сопротивления воздуха прямо пропорциональна квадрату скорости и площади поперечного сечения затрачиваемая на ее преодоление мощность пропорциональна поэтому Итак, следовательно, V Ь°. [c.51] И действительно, скорость бега по ровному месту у животных не мельче зайца и не крупнее лошади практически не зависит от размер особи. [c.51] Для бега в гору необходима мощность т и поскольау развиваемая мощность находим V — L , И действительно, собак легко взбегает на холм, а лошадь замедляет шаг. [c.51] Задача. ). Как зависит от размеров животного высота прыжка Ответ. —Ц . [c.51] Решешение. Нужная для прыжка на высоту к энергия пропорциональна а совершаемая силой мышц Р работа пропорциональна РЬ. Сила Р пропорциональна (так как прочность костей пропорциональна площади их сечения). Итак, Ь Ь, т. е. высота прыжка не зависит от размеров животного. И действительно, тушканчик и кенгуру прыгают примерно на одинаковую высоту. [c.51] Лагранжева механика описывает движение механической системы при помощи конфигурационного пространства. Конфигурационное пространство механической системы имеет структуру ди ференцируемого многообразия. На дифференцируемом многообразии действует группа диффеоморфизмов. Основные понятия и теоремы лагранжевой механики (даже если они и формулируются в терминах локальных координат) инвариантны относительно этой группы ). [c.52] Лагранжева механическая система задается многообразием ( конфигурационным пространством ) и функцией на его касательном расслоении ( функцией Лагранжа ). [c.52] Каждая однопараметрическая группа диффеоморфизмов конфигурационного пространства, оставляющая неизменной функцию Лагранжа, определяет закон сохранения (т. е. первый интеграл уравнений движения). [c.52] Ньютонова потенциальная система — частный случай лагранжевой (конфигурационное пространство в этом случае евклидово, а функция Лагранжа равна разности кинетической и потенциаль-вой энергий). [c.52] Лагранжева точка зрения позволяет исследовать до конца ряд важных задач механики, например, в теории малых колебаний и в динамике твердого тела. [c.52] Вернуться к основной статье